Решите задачу тремя способами: 1) непосредственно вычислив корни уравнения; 2) используя теорему Виета; 3) графически. Оформите решение задачи. При каких значениях параметра а уравнение х² — ax — a — 1 = 0 имеет различные корни, расположенные на луче х ∈ (-∞; 2].

Решение:

Заданное уравнение: \( x^2 - ax - a - 1 = 0 \)

1. Непосредственное вычисление корней

Для того чтобы уравнение имело различные корни, дискриминант должен быть больше нуля:

\[ D = (-a)^2 - 4(1)(-a - 1) = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 \]

Так как \( D = (a+2)^2 \), то \( D \ge 0 \) для всех \( a \). Чтобы корни были различными, \( D > 0 \), что означает \( (a+2)^2 > 0 \), то есть \( a \neq -2 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{a + \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{a + |a+2|}{2} \]

\[ x_2 = \frac{a - \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{a - |a+2|}{2} \]

Рассмотрим два случая для \( |a+2| \):

Случай 1: \( a+2 \ge 0 \), то есть \( a ≥ -2 \) (и \( a \neq -2 \) для различных корней, значит \( a > -2 \)).

В этом случае \( |a+2| = a+2 \).

\[ x_1 = \frac{a + (a+2)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1 \]

\[ x_2 = \frac{a - (a+2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Условие: корни должны быть расположены на луче \( x \in (-\infty; 2] \).

Для \( x_1 = a+1 \): \( a+1 \le 2 \) => \( a \le 1 \). Учитывая \( a > -2 \), получаем \( -2 < a \le 1 \).

Для \( x_2 = -1 \): \( -1 \le 2 \), что выполняется.

Итак, для этого случая имеем \( -2 < a \le 1 \).

Случай 2: \( a+2 < 0 \), то есть \( a < -2 \).

В этом случае \( |a+2| = -(a+2) \).

\[ x_1 = \frac{a - (a+2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{a + (a+2)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1 \]

Условие: корни должны быть расположены на луче \( x \in (-\infty; 2] \).

Для \( x_1 = -1 \): \( -1 \le 2 \), что выполняется.

Для \( x_2 = a+1 \): \( a+1 \le 2 \) => \( a \le 1 \). Учитывая \( a < -2 \), получаем \( a < -2 \).

Таким образом, объединяя случаи, получаем \( a < -2 \) или \( -2 < a \le 1 \). Это эквивалентно \( a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1] \).

2. Использование теоремы Виета

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 - ax - a - 1 = 0 \). По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = a \]

\[ x_1 x_2 = -a - 1 \]

Условие: \( x_1 \neq x_2 \) и \( x_1, x_2 \in (-\infty; 2] \).

Из первого уравнения: \( a = x_1 + x_2 \). Подставим во второе:

\[ x_1 x_2 = -(x_1 + x_2) - 1 \]

\[ x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 0 \]

\[ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 0 \]

Это означает, что либо \( x_1 + 1 = 0 \) (т.е. \( x_1 = -1 \)), либо \( x_2 + 1 = 0 \) (т.е. \( x_2 = -1 \)).

Значит, один из корней уравнения обязательно равен \( -1 \).

Подставим \( x = -1 \) в исходное уравнение:

\[ (-1)^2 - a(-1) - a - 1 = 0 \]

\[ 1 + a - a - 1 = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Это верно для любого \( a \).

Теперь найдём второй корень. Если \( x_1 = -1 \), то по теореме Виета:

\[ -1 + x_2 = a \]

\[ x_2 = a + 1 \]

Условие: корни должны быть различными, значит \( x_2 ≥ x_1 \) (поскольку \( x_2 = a+1 \) может быть как больше, так и меньше \( -1 \), мы рассматриваем два случая для сравнения корней, но проще использовать тот факт, что \( x_2 \) должен быть не равен \( -1 \) для различных корней. Если \( a+1 = -1 \), то \( a = -2 \). В этом случае \( D = (-2+2)^2 = 0 \), корни совпадают, что нам не подходит. Следовательно, \( a \neq -2 \).

Также корни должны быть на луче \( x ∈ (-\infty; 2] \).

Мы уже имеем один корень \( x_1 = -1 \), который лежит на луче \( (-\infty; 2] \).

Рассмотрим второй корень \( x_2 = a+1 \). Он также должен быть на луче \( (-\infty; 2] \), то есть \( a+1 \le 2 \), что даёт \( a \le 1 \).

Учитывая, что \( a \neq -2 \), мы получаем \( a ∈ (-\infty; -2) \cup (-2; 1] \).

3. Графическое решение

Перепишем уравнение как \( x^2 - 1 = ax + a \) или \( x^2 - 1 = a(x+1) \).

Это можно представить как пересечение графика параболы \( y = x^2 - 1 \) и графика прямой \( y = a(x+1) \).

Парабола \( y = x^2 - 1 \) имеет вершины в точке \( (0, -1) \) и пересекает ось \( Ox \) в точках \( x = \pm 1 \).

Прямая \( y = a(x+1) \) проходит через точку \( (-1, 0) \) (корень \( x = -1 \) для любого \( a \)) и имеет угловой коэффициент \( a \).

Мы ищем значения \( a \), при которых уравнение имеет два различных корня, и оба корня лежат на луче \( x ∈ (-\infty; 2] \).

Анализ графиков:

1. Точка пересечения \( x = -1 \): Всегда является корнем, так как \( (-1)^2 - 1 = 0 \) и \( a(-1+1) = 0 \). Эта точка всегда находится на луче \( (-\infty; 2] \).
2. Второй корень: Должен быть отличным от \( -1 \) и также лежать на луче \( (-\infty; 2] \).

Найдем второй корень, приравняв \( x^2 - 1 = a(x+1) \) для \( x ≥ -1 \) (т.к. \( x ≥ -1 \) и \( x ≥ -1 \) для \( x ≥ -1 \)):

\[ (x-1)(x+1) = a(x+1) \]

Если \( x ≥ -1 \) и \( x \neq -1 \), то можно разделить на \( x+1 \):

\[ x - 1 = a \]

\[ x = a + 1 \]

Это второй корень. Он должен быть различным с \( -1 \), значит \( a+1 ≥ -1 \) => \( a ≥ -2 \). И \( a+1 ≥ -1 \) => \( a ≥ -2 \). Учитывая, что корни должны быть различны, \( a+1 ≥ -1 \) => \( a ≥ -2 \). Если \( a=-2 \), то \( x = -1 \), корни совпадают. Значит \( a ≥ -2 \) и \( a ≥ -2 \). Учитывая, что корни должны быть различными, \( a \neq -2 \).

Второй корень \( x = a+1 \) должен находиться на луче \( (-\infty; 2] \), то есть \( a+1 \le 2 \), что даёт \( a \le 1 \).

Таким образом, для второго корня мы имеем \( -2 < a \le 1 \).

Что происходит при \( a < -2 \)?

Если \( a < -2 \), то \( x = a+1 \) будет меньше \( -1 \). В этом случае, при \( x ≥ -1 \), график \( y = a(x+1) \) с отрицательным \( a \) будет ниже параболы. Однако, нам важно, чтобы оба корня были в \( (-\infty; 2] \).

Корни уравнения \( x^2 - ax - a - 1 = 0 \) — это \( -1 \) и \( a+1 \).

Условие: корни различные и оба \( ∈ (-\infty; 2] \).

1. \( -1 ∈ (-\infty; 2] \) — выполняется.

2. \( a+1 ∈ (-\infty; 2] \) => \( a+1 \le 2 \) => \( a \le 1 \).

3. Корни различны: \( -1 \neq a+1 \) => \( a \neq -2 \).

Объединяя условия \( a \le 1 \) и \( a \neq -2 \), получаем \( a ∈ (-\infty; -2) \cup (-2; 1] \).

Визуализация:

Парабола \( y = x^2 - 1 \) и прямая \( y = a(x+1) \) пересекаются в точке \( (-1, 0) \) для любого \( a \).

Если \( a = 1 \), то \( y = x+1 \). Пересечение с \( x^2-1 \) при \( x^2-1 = x+1 \) => \( x^2-x-2 = 0 \) => \( (x-2)(x+1) = 0 \). Корни \( x=-1 \) и \( x=2 \). Оба на луче \( (-\infty; 2] \).

Если \( a > 1 \), то \( x = a+1 > 2 \). Второй корень выходит за луч.

Если \( a = -2 \), то \( y = -2(x+1) \). Пересечение с \( x^2-1 \) при \( x^2-1 = -2x-2 \) => \( x^2+2x+1 = 0 \) => \( (x+1)^2 = 0 \). Корень \( x=-1 \) (кратный). Нам нужны различные корни.

Если \( a < -2 \), то \( a+1 < -1 \). Второй корень \( x = a+1 \) будет меньше \( -1 \), но еще на луче \( (-\infty; 2] \).

График показывает, что для \( a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1] \) оба корня \( -1 \) и \( a+1 \) находятся на луче \( (-\infty; 2] \), и они различны.

Ответ: При \( a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1] \) уравнение имеет различные корни, расположенные на луче \( x \in (-\infty; 2] \).