3. Решите задания ВПР (№ 14). 1) Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если LABC = 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. 2) Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если LABC = 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

1) Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если ∠ABC = 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть BD - биссектриса внешнего угла при вершине B, тогда ∠CBD = ∠DBA, так как BD - биссектриса. Прямые AC и BD параллельны, следовательно, ∠CBD = ∠BCA как внутренние накрест лежащие углы. Также ∠DBA = ∠CAB как внутренние накрест лежащие углы. Таким образом, ∠CAB = ∠BCA, значит, треугольник ABC - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

По теореме о сумме углов треугольника, ∠CAB + ∠BCA + ∠ABC = 180°. Так как ∠CAB = ∠BCA, то 2∠CAB + ∠ABC = 180°. Подставим известное значение ∠ABC = 28°: 2∠CAB + 28° = 180°. Тогда 2∠CAB = 180° - 28° = 152°. ∠CAB = 152° / 2 = 76°.

Ответ: 76°

2) Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если ∠ABC = 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть BD - биссектриса внешнего угла при вершине B, тогда ∠CBD = ∠DBA, так как BD - биссектриса. Прямые AC и BD параллельны, следовательно, ∠CBD = ∠BCA как внутренние накрест лежащие углы. Также ∠DBA = ∠CAB как внутренние накрест лежащие углы. Таким образом, ∠CAB = ∠BCA, значит, треугольник ABC - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

По теореме о сумме углов треугольника, ∠CAB + ∠BCA + ∠ABC = 180°. Так как ∠CAB = ∠BCA, то 2∠CAB + ∠ABC = 180°. Подставим известное значение ∠ABC = 36°: 2∠CAB + 36° = 180°. Тогда 2∠CAB = 180° - 36° = 144°. ∠CAB = 144° / 2 = 72°.

Ответ: 72°