10. Решите уравнение: a) 3x2 + 13x – 10 = 0; 6) y2 = 4y; - в) 16х2 - 1 = 0; г) х² - 4x - 5 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 114 м, а его площадь 800 м². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. В уравнении х2 + рх - 12 = 0 один из его корней равен 4. Найдите другой корень и коэффициент р.

1. Решите уравнение:

а) 3x² + 13x – 10 = 0

Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$

Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}$$, $$x_2 = -5$$

б) y² = 4y

Переносим все в левую часть:

y² - 4y = 0

Выносим y за скобки:

y(y - 4) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

y = 0 или y - 4 = 0

Отсюда:

y = 0 или y = 4

Ответ: y = 0, y = 4

в) 16x² - 1 = 0

Преобразуем уравнение:

16x² = 1

x² = 1/16

Извлекаем квадратный корень:

x = ±√(1/16)

x = ±1/4

Ответ: x = 1/4, x = -1/4

г) x² - 4x - 5 = 0

Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Ответ: x = 5, x = -1

2. Периметр прямоугольника равен 114 м, а его площадь 800 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда, согласно условию, имеем систему уравнений:

2(a + b) = 114

ab = 800

Из первого уравнения выразим a + b:

a + b = 57

Выразим a через b: a = 57 - b

Подставим во второе уравнение:

(57 - b)b = 800

57b - b² = 800

b² - 57b + 800 = 0

Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3249 - 3200 = 49$$ $$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{57 + 7}{2} = \frac{64}{2} = 32$$ $$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{57 - 7}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

Теперь найдем a для каждого значения b:

Если b = 32, то a = 57 - 32 = 25

Если b = 25, то a = 57 - 25 = 32

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 25 м и 32 м.

Ответ: 25 м, 32 м

3. В уравнении x² + px - 12 = 0 один из его корней равен 4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения. По условию x₁ = 4.

Тогда, используя теорему Виета, имеем:

x₁ + x₂ = -p

x₁x₂ = -12

Подставим x₁ = 4 во второе уравнение:

4x₂ = -12

x₂ = -3

Теперь подставим x₁ и x₂ в первое уравнение:

4 + (-3) = -p

1 = -p

p = -1

Таким образом, другой корень равен -3, а коэффициент p равен -1.

Ответ: x₂ = -3, p = -1