РЕШУ ОГЭ – математика Вариант № 77822471 1. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 10/3, а угол между ними равен 60°. Найдите пло- щадь треугольника. 2. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 24 и ВС = 16. Построена окруж- ность с центром 4, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, прове- денной из точки В к этой окружности. 3. Сторона треугольника равна 18, а высота, проведенная к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними. 5. Какое из следующих утверждений верно? ются. 1) Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности каса 2) Вписанные углы окружности равны. 3) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 4) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность. 6. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдит МС, если АВ = 15, DC = 30, AC = 39.

1. Площадь треугольника

• Дано: a = 10, b = 10√3, γ = 60°

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(γ) \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot sin(60°) \]

Так как sin(60°) = √3/2:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{100}{4} = 25 \]

Ответ: 25

2. Длина касательной

• Дано: AC = 24, BC = 16

Пусть BТ - касательная, проведенная из точки B к окружности с центром A, проходящей через C.

По свойству касательной и секущей:

\[ BT^2 = BC \cdot BD \]

Где BD = BA + AD = BA + AC = (BC + AC) + AC = (16 + 24) + 24 = 40 + 24 = 64

\[ BT^2 = 16 \cdot 64 \] \[ BT = \sqrt{16 \cdot 64} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32 \]

Ответ: 32

3. Площадь треугольника

• Дано: a = 18, h = 22

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 22 = 9 \cdot 22 = 198 \]

Ответ: 198

4. Расстояние между точками

По теореме Пифагора:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \]

Ответ: 3√2

5. Верное утверждение

1) Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются - Неверно, если расстояние между центрами равно сумме их радиусов, то окружности касаются. 2) Вписанные углы окружности равны - Неверно, равны вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. 3) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60° - Верно, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. 4) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность - Неверно, окружность проходит только через такие четыре точки, которые являются вершинами вписанного в окружность четырёхугольника.

Ответ: 3

6. Найти MC

Рассмотрим треугольники АВМ и CDM. Так как АВ и DC лежат на параллельных прямых, углы ВАМ и DCM равны, как и углы ABM и CDM (накрест лежащие углы). Следовательно, треугольники ABM и CDM подобны по двум углам. Тогда справедливо соотношение:

\[ \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC} \]

Известно, что AC = AM + MC = 39. Выразим AM через MC:

\[ AM = 39 - MC \]

Подставим известные значения и выражение для AM в соотношение:

\[ \frac{15}{30} = \frac{39 - MC}{MC} \]

Упростим:

\[ \frac{1}{2} = \frac{39 - MC}{MC} \]

Решим уравнение относительно MC:

\[ MC = 2(39 - MC) \] \[ MC = 78 - 2MC \] \[ 3MC = 78 \] \[ MC = \frac{78}{3} \] \[ MC = 26 \]

Ответ: 26