Рис. 799. Дано: R = 3 см, АВ = 15 см. Найти: АК, КВ.

Решение:

1. Обозначим точку касания окружности и стороны АС треугольника через N.
2. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Следовательно, AN = AK и BN = BK.
3. Обозначим AK = x, тогда BK = AB - AK = 15 - x. Так как BN = BK, то BN = 15 - x.
4. Заметим, что AN + NC = AC и BM + MC = BC. Но AN = AK = x и BN = BK = 15 - x. Также, NC = MC = радиусу окружности, то есть 3 см.
5. Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть:
   • AC = AN + NC = x + 3
   • BC = BM + MC = 15 - x + 3 = 18 - x
   • AB = 15
6. Обозначим периметр треугольника ABC через P. P = AB + BC + AC = 15 + (18 - x) + (x + 3) = 15 + 18 - x + x + 3 = 36 см
7. С другой стороны, периметр треугольника можно выразить как P = 2(AK + BK + CM) = 2(AK + KB + 3)
8. 36 = 2(AK + KB + 3). Разделим обе части на 2: 18 = AK + KB + 3. Следовательно, AK + KB = 15 см. Из пункта 3 мы знаем, что BK = 15 - AK.
9. 18 = x + (15 - x) + 3 = 18 см. Это не дает нам уравнения для решения относительно x. Заметим, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC.
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Из условия нам дано R = 3 и AB = 15. Найдем AK и KB.
11. Пусть AK = x, тогда KB = 15 - x. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
12. В нашем случае, 3 = (AC + BC - 15) / 2. Умножим обе части на 2: 6 = AC + BC - 15. Следовательно, AC + BC = 21
13. Тогда AC = x + 3, BC = 18 - x, AC + BC = x + 3 + 18 - x = 21
14. 21 = 21. Это равенство подтверждает, что значение AK = x может быть любым. Но, если применить подобие, задача не решится, т.к. недостаточно данных.
15. Воспользуемся тем, что KNCM является квадратом, поэтому KN = NC = CM = MK = r = 3. Тогда, если АK = x, то АN = x.
16. Дальше необходимо использовать тот факт, что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник ABC равен r = (AC + BC - AB)/2. То есть, 3 = (AC + BC -15)/2. Значит, AC + BC = 21. И AB = 15.
17. Используем, что AC + BC = 21, и также BC = BK + KC. KC = 3 (как радиус). Значит BC = BK + 3, аналогично AC = AK + 3
18. Значит AK + 3 + BK + 3 = 21, AK + BK = 21 - 6 = 15. Учитывая, что AK + BK = AB = 15. Заметим, что AK = x, KB = 15 - x.

Ответ: не достаточно данных.