1. Рис. 7.17. Найти: ВС, MN. 2. Дано: DE||АС (рис. 7.18). Найти: АВ, ВС. 3. Дано: а||b (рис. 7.19). Найти: х. у. 4. Рис. 7.20. Найти: BD. 5. Рис. 7.21. Найти: СО, ВО. 6. Рис. 7.22. Найти: ВС.

Решим задачи по геометрии.

1. Рассмотрим рисунок 7.17.

   Из рисунка видно, что треугольники АВС и AMN подобны по двум углам (угол А общий и углы при вершинах M и B равны как соответственные при параллельных MN и BC).

   Запишем отношение сторон:

   $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$.

   Выразим стороны через известные значения:

   $$\frac{6}{6+4}=\frac{12}{12+3}=\frac{MN}{4+15}$$.

   $$\frac{6}{10}=\frac{12}{15}=\frac{MN}{19}$$.

   Найдем MN:

   $$MN = \frac{6 \cdot 19}{10} = \frac{114}{10} = 11.4$$.

   Отсюда, ВС = 19, MN = 11.4.

   Ответ: ВС = 19, MN = 11.4.

2. Рассмотрим рисунок 7.18.

   Треугольники ABC и DBE подобны, так как DE||AC.

   Запишем отношение сторон:

   $$\frac{DB}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$$.

   Выразим стороны через известные значения:

   $$\frac{x+6}{AB}=\frac{8}{BC}=\frac{10}{15}$$.

   $$\frac{x+6}{AB}=\frac{8}{BC}=\frac{2}{3}$$.

   По условию x = 4, тогда

   $$\frac{4+6}{AB}=\frac{8}{BC}=\frac{2}{3}$$.

   $$\frac{10}{AB}=\frac{8}{BC}=\frac{2}{3}$$.

   Выразим АВ и ВС:

   $$AB = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$$,

   $$BC = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$$.

   Отсюда АВ = 15, ВС = 12.

   Ответ: АВ = 15, ВС = 12.

3. Рассмотрим рисунок 7.19.

   По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне пропорциональные отрезки, то и на другой его стороне они отсекают пропорциональные отрезки.

   Тогда

   $$\frac{5}{4}=\frac{2x-3}{y-1}$$.

   Подставим x = 4, y = 5:

   $$\frac{5}{4}=\frac{2\cdot 4-3}{5-1}$$.

   $$\frac{5}{4}=\frac{8-3}{4}$$.

   $$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$.

   Ответ: x = 4, y = 5.

4. Рассмотрим рисунок 7.20.

   В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота BD к гипотенузе АС.

   По свойству высоты, проведенной из прямого угла, $$BD^2 = AD \cdot DC$$.

   $$BD^2 = 4 \cdot 16 = 64$$.

   $$BD = \sqrt{64} = 8$$.

   Ответ: BD = 8.

5. Рассмотрим рисунок 7.21.

   Из рисунка следует, что треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (углы при вершине О вертикальные, углы при вершинах А и B равны как внутренние накрест лежащие при параллельных AC и BD).

   Запишем отношение сторон:

   $$\frac{AO}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$$.

   Выразим стороны через известные значения:

   $$\frac{5}{BO}=\frac{CO}{10}=\frac{6}{8}$$.

   $$\frac{5}{BO}=\frac{CO}{10}=\frac{3}{4}$$.

   Выразим СО и ВО:

   $$CO = \frac{3 \cdot 10}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$,

   $$BO = \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$$.

   Ответ: $$CO = 7.5$$, $$BO = 6\frac{2}{3}$$.

6. Рассмотрим рисунок 7.22.

   Пусть ВС = х, тогда DC = 9 - х.

   В прямоугольном треугольнике BDC:

   $$BD^2 + DC^2 = BC^2$$.

   $$6^2 + (9-x)^2 = x^2$$.

   $$36 + 81 - 18x + x^2 = x^2$$.

   $$117 - 18x = 0$$.

   $$18x = 117$$.

   $$x = \frac{117}{18} = \frac{13}{2} = 6.5$$.

   Ответ: BC = 6.5.