Рис. 1. Прямоугольный треугольник вписан в окружность Треугольник АВС — прямоугольный, ∠A = 60° и ВА = 6 см. Вычисли стороны треугольника и радиус R описанной около него окружности. R= см; AC = см BC = Ο 12√2 Ο 6√3 Ο 12√3 Ο 6√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, вписанный в окружность с центром в точке O. Угол A равен 60°, сторона BA равна 6 см. Так как треугольник прямоугольный, угол B равен 90°. Следовательно, угол C равен 180° - 90° - 60° = 30°.

1) Найдем сторону BC.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет BA прилежит к углу A, равному 60°. Тогда

$$BA = BC \cdot cos(30°) = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$BC = \frac{2BA}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$

Сторона BC равна $$6\sqrt{3}$$ не подходит.

Сторона BC равна $$12\sqrt{3}$$ не подходит.

2) Найдем сторону AC.

$$AC = BC \cdot sin(60°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Так как треугольник ABC прямоугольный и вписан в окружность, то AC - это гипотенуза, а центр окружности O лежит на середине гипотенузы.

3) Найдем радиус R описанной окружности.

Радиус R равен половине гипотенузы AC.

$$R = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$

Ответ: R = 6; AC = 12; BC = $$6\sqrt{3}$$