Рис. 1. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Треугольник ABC — прямоугольный, \(\angle\) A = 60° и BA = 9 дм. Вычисли стороны треугольника и радиус R описанной около него окружности.

Решение:

Треугольник ABC — прямоугольный, вписанный в окружность. Это значит, что гипотенуза AB является диаметром окружности. Таким образом, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

1. Находим радиус R:
   Диаметр окружности равен гипотенузе AB. Дано, что \( AB = 9 \) дм. Радиус \( R = \frac{AB}{2} \).
   \[ R = \frac{9 \text{ дм}}{2} = 4.5 \text{ дм} \]
2. Находим сторону AC:
   В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A = 60° \). Сторона AC является прилежащим катетом к углу A.
   Используем формулу: \( \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} \).
   \[ AC = AB \cdot \cos(\angle A) \]
   \[ AC = 9 \text{ дм} \cdot \cos(60°) \]
   Так как \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \), то:
   \[ AC = 9 \text{ дм} \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \text{ дм} \]
3. Находим сторону BC:
   Сторона BC является противолежащим катетом к углу A.
   Используем формулу: \( \sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} \).
   \[ BC = AB \cdot \sin(\angle A) \]
   \[ BC = 9 \text{ дм} \cdot \sin(60°) \]
   Так как \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:
   \[ BC = 9 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ дм} \approx 7.79 \text{ дм} \]

Ответ: R = 4.5 дм; AC = 4.5 дм; BC = \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) дм.