Рис. 5.164. ABCD — ромб. Найдите ∠C. E лежит на AD; BE делит угол ABD пополам, а отмеченный на рисунке угол BED равен 150°.

Так как E лежит на AD, лучи EA и ED противоположны. Поэтому ∠AEB = 180° − ∠BED = 180° − 150° = 30°.

В треугольнике ABE углы ABE и BAE в сумме равны 150°. Поскольку ABCD — ромб, диагональ BD делит угол B пополам, а BE делит угол ABD пополам. Значит, ∠ABE = ∠EBD = ∠ABD/2. Кроме того, AB = AD, поэтому треугольник ABD равнобедренный и ∠BAD = 180° − ∠ABD.

Пусть ∠ABD = x. Тогда ∠BAE = ∠BAD = 180° − 2x, поскольку AE лежит на AD. Из суммы углов треугольника ABE: x/2 + (180° − 2x) = 150°, откуда x = 20°.

В ромбе соседние углы supplementary, а диагональ BD делит угол B пополам. Следовательно, ∠B = 2x = 40°, поэтому ∠C = 180° − 40° = 140°.

Ответ: ∠C = 140°.