Рис. 5.165. ABCD — квадрат; P∈AB, M∈BC, N∈CD, K∈DA; AP = CN, BM = DK, ∠AKP = 30°. Определить вид четырёхугольника PMNK.

Обозначим сторону квадрата через a. Так как AP = CN, то BP = DN. По условию BM = DK. Треугольники BPM и DKN прямоугольные, их соответствующие катеты равны, следовательно, PM = NK.

Также AK = a − DK, CM = a − BM, поэтому AK = CM. Вместе с AP = CN это даёт равенство катетов прямоугольных треугольников APK и CNM, откуда PK = MN.

В четырёхугольнике PMNK обе пары противоположных сторон равны: PM = NK и PK = MN. Следовательно, PMNK — параллелограмм.

Данные об угле также дают ∠APK = 60°, поскольку треугольник APK прямоугольный при A. Однако этого недостаточно, чтобы заключить, что параллелограмм обязательно является прямоугольником, ромбом или квадратом.

Ответ: PMNK — параллелограмм.