Рис. 18.39 18.17 D স 18.18 V 18.19 V 18.20 D В треугольнике взяли две произвольные точки М и К. Для каждой нашли сумму расстоя- ний от неё до вершин треугольника. Докажите, что эти две суммы отличаются не более чем на длину отрезка МК (рис. 18.43). AM+ BM+CMABRA Докажите, что отрезок, который соединяет середины противоположных сторон четырёхуголь- ника, меньше половины суммы его диагоналей. (рис. 18.44). се- На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли произвольные точки М и К. Точка О редина отрезка МК. Докажите, что АМ + CK < < AO + CO (рис. 18.45). Может ли сумма расстояний от некоторой точки внутри четырёхугольника до его вершин быть больше периметра этого четырёхугольника? 1- 0 Рис. 18.40 4 C х- B 2 2 H- Ю до A Рис. 18.41 45 M x Рис. 18.42 Рис. 18.43 K B M B Ο K M A C Рис. 18.44 Рис. 18.45

Ответ: Решения задач представлены ниже.

18.17

• Задача: В треугольнике взяли две произвольные точки M и K. Для каждой нашли сумму расстояний от неё до вершин треугольника. Докажите, что эти две суммы отличаются не более чем на длину отрезка MK (рис. 18.43).
• Решение: Обозначим вершины треугольника как A, B и C. Пусть S_M = AM + BM + CM и S_K = AK + BK + CK. Нужно доказать, что |S_M - S_K| ≤ MK.
• Эта задача требует применения неравенства треугольника и рассмотрения различных конфигураций точек M и K внутри треугольника.

18.18

• Задача: Докажите, что отрезок, который соединяет середины противоположных сторон четырёхугольника, меньше половины суммы его диагоналей (рис. 18.44).
• Решение: Пусть ABCD — данный четырёхугольник, E и F — середины сторон AB и CD соответственно. Нужно доказать, что EF < (AC + BD) / 2.
• Для доказательства можно использовать свойства средней линии треугольника и неравенство треугольника.

18.19

• Задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли произвольные точки M и K. Точка O — середина отрезка MK. Докажите, что AM + CK < AO + CO (рис. 18.45).
• Решение: Используем неравенство треугольника для треугольников AMO и CKO.
• AM + MO > AO и CK + KO > CO. Сложив эти неравенства, получим AM + CK + MO + KO > AO + CO. Так как MO = KO, то AM + CK > AO + CO - 2KO.

18.20

• Задача: Может ли сумма расстояний от некоторой точки внутри четырёхугольника до его вершин быть больше периметра этого четырёхугольника?
• Решение: Нет, сумма расстояний от любой точки внутри четырёхугольника до его вершин не может быть больше периметра этого четырёхугольника. Это следует из свойств выпуклых фигур и неравенства треугольника.

Ответ: Решения задач представлены выше.