1. Рис. 859. Дано: BD = 3,1 см, ВЕ = 4,2 см, ВА = 9,3 см, ВС = 12,6 см. Доказать: DE || AC. Найти: а) DE : AC; 6) PABC: PDBE; B) SDBE: SABC.

Ответ: а) DE : AC = 1:3; б) P_ABC : P_DBE = 3:1; в) S_DBE : S_ABC = 1:9

Разбираемся:

а) Рассмотрим треугольники DBE и ABC. Угол B у них общий, а DE || AC, значит, треугольники подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC}\]

Подставим известные значения: \[\frac{3.1}{9.3} = \frac{4.2}{12.6} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, DE : AC = 1:3.

б) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

\[\frac{P_{ABC}}{P_{DBE}} = \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE} = 3\]

Следовательно, P_ABC : P_DBE = 3:1.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\]

Следовательно, S_DBE : S_ABC = 1:9.

Ответ: а) DE : AC = 1:3; б) P_ABC : P_DBE = 3:1; в) S_DBE : S_ABC = 1:9