2. Рис. 3.50. Дано: MN = NK; PO = OE; ∠1 = ∠2. Доказать: MN|| OE.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник MNK. Так как MN = NK, то треугольник MNK равнобедренный, и углы при основании равны: ∠NMK = ∠NKM.

Аналогично, рассмотрим треугольник POE. Так как PO = OE, то треугольник POE равнобедренный, и углы при основании равны: ∠OPE = ∠OEP.

По условию, ∠1 = ∠2. ∠1 и ∠NKM – смежные, поэтому ∠NKM = 180° - ∠1. Аналогично, ∠2 и ∠OPE – смежные, поэтому ∠OPE = 180° - ∠2.

Так как ∠1 = ∠2, то 180° - ∠1 = 180° - ∠2, следовательно, ∠NKM = ∠OPE.

Так как ∠NKM = ∠OPE, а ∠NKM = ∠NMK и ∠OPE = ∠OEP, то ∠NMK = ∠OEP.

∠NMK и ∠OEP - соответственные углы при прямых MN и OE и секущей ME. Так как эти углы равны, то прямые MN и OE параллельны.

Ответ: Доказано, что MN || OE.