2. Рис. 3.45. Дано: NF=PF, MF = QF. Доказать: MN || PQ.

Рассмотрим рисунок 3.45 и докажем, что MN || PQ, используя данные NF = PF и MF = QF.

1) Рассмотрим треугольники ΔMNF и ΔPQF. В этих треугольниках:

• NF = PF (по условию)
• MF = QF (по условию)
• ∠MFN = ∠PFQ (вертикальные углы)

2) По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что ΔMNF = ΔPQF.

3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠MNF = ∠QPF.

4) Углы ∠MNF и ∠QPF являются накрест лежащими углами при прямых MN и PQ и секущей NP. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

5) Следовательно, MN || PQ.

Ответ: MN || PQ доказано.