2. Рис. 415. Найти: ∠C, ZC1. 3. Рис. 416. Найти: ВМ. 4. Рис. 417. Найти: ВС. 5. Рис. 418. Найти: ∠BDA. 6. Рис. 419. Найти АВ, NC,

2. Рис. 415. Найти: ∠C, ∠C₁.

На рисунке 415 изображены два подобных треугольника: ABC и A₁B₁C₁. Из условия подобия треугольников следует, что соответствующие углы равны. То есть ∠C = ∠C₁.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике A₁B₁C₁ известны два угла: ∠A₁ = 40° и ∠B₁ = 70°.

Найдем ∠C₁: \[∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁ = 180° - 40° - 70° = 70°\]

Так как ∠C = ∠C₁, то ∠C = 70°.

Ответ: ∠C = 70°, ∠C₁ = 70°

---

3. Рис. 416. Найти: BM.

На рисунке 416 изображен треугольник ABC, в котором отрезок AM = 3, отрезок MC = 15, отрезок AN = 8, отрезок NC = 10. Требуется найти длину отрезка BM.

Используем теорему о пропорциональных отрезках (теорему Фалеса в общем виде): Если на одной стороне угла отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки.

В нашем случае, если MN || BC, то выполняется соотношение: \[\frac{AM}{MC} = \frac{AN}{NB}\]

Подставим известные значения: \[\frac{3}{15} = \frac{8}{NB}\]

Найдем NB: \[NB = \frac{8 \cdot 15}{3} = \frac{120}{3} = 40\]

Тогда BM = BN - MN = 40 - 10 = 30. Но у нас нет информации о том, что MN || BC. Считаем, что в задаче ошибка.

Ответ: Нет решения, так как недостаточно данных.

---

4. Рис. 417. Найти: BC.

На рисунке 417 изображена трапеция ABCD, O - точка пересечения диагоналей. AO = 15, OD = 12, BO = 4, OC = 5. Нужно найти длину отрезка BC.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. Если выполняется пропорциональность сторон, то есть \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\), то треугольники подобны.

Проверим: \(\frac{15}{5} = 3\) и \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Так как \(3
eq \frac{1}{3}\), то треугольники AOB и COD не подобны.

Предположим, что в условии ошибка и BO = 4, OC = x. Тогда \(\frac{15}{x} = \frac{12}{4}\), следовательно, \(x = \frac{15 \cdot 4}{12} = 5\). То есть OC = 5. В этом случае треугольники AOB и COD подобны с коэффициентом подобия k = \(\frac{AO}{OC} = \frac{15}{5} = 3\).

Так как треугольники AOB и COD подобны, то AB || CD, и ABCD - трапеция. Но нам нужно найти BC, а данных для этого нет.

Ответ: Недостаточно данных для нахождения BC.

---

5. Рис. 418. Найти: ∠BDA.

На рисунке 418 изображен треугольник ABD, в котором ∠BAD = 80°, ∠ADB = 55°. Нужно найти угол ∠BDA.

В треугольнике сумма углов равна 180°. Поэтому: \[∠BDA = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 80° - 55° = 45°\]

Ответ: ∠BDA = 45°

---

6. Рис. 419. Найти AB, NC.

На рисунке 419 изображен треугольник ABC, в котором MN || AC, AM = 6, MB = 4, BN = 5. Нужно найти AB и NC.

Так как MN || AC, то треугольники MBN и ABC подобны. Следовательно, выполняется пропорциональность сторон: \[\frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\]

Найдем AB: AB = AM + MB = 6 + 4 = 10.

Найдем BC: BC = BN + NC = 5 + NC.

Тогда: \[\frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} \Rightarrow \frac{4}{10} = \frac{5}{5 + NC}\]

Решим уравнение: \[4(5 + NC) = 5 \cdot 10 \Rightarrow 20 + 4NC = 50 \Rightarrow 4NC = 30 \Rightarrow NC = \frac{30}{4} = 7.5\]

Ответ: AB = 10, NC = 7.5

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые математические задачи!