3. Рис. 321. Найти: SABC.

Для решения этой задачи нам понадобится найти площадь треугольника ABC, зная, что угол ADB равен 135°, AC = 7 см и BC = 8 см. Угол ADC будет смежным с углом ADB и равен 180° - 135° = 45°.

Рассмотрим треугольник BCD. Пусть CD = x. Тогда AD = AC - CD = 7 - x.

Используем формулу площади треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$$, где a и b - стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между ними.

Площадь треугольника BCD равна: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot 1 = 4x$$

Площадь треугольника ABD равна: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)$$.

Также можно найти площадь треугольника ABD как $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \cdot \sin(90) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (7-x) \cdot \sin(45^\circ)$$.

$$S_{ABD} = 4 \cdot (7-x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}(7-x)$$.

С другой стороны, рассмотрим треугольник ABC. $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = 28$$

Также площадь треугольника ABC можно выразить как сумму площадей треугольников ABD и BCD:

$$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD}$$

$$28 = 2\sqrt{2}(7-x) + 4x$$

$$28 = 14\sqrt{2} - 2\sqrt{2}x + 4x$$

$$4x - 2\sqrt{2}x = 28 - 14\sqrt{2}$$

$$x(4 - 2\sqrt{2}) = 28 - 14\sqrt{2}$$

$$x = \frac{28 - 14\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{14(2 - \sqrt{2})}{2(2 - \sqrt{2})} = 7$$

Получили, что CD = 7. Но тогда AD = 0, что невозможно, исходя из рисунка. Похоже, я допустил ошибку в решении.

Заметим, что угол \(\angle BDA = 135^\circ\). Значит, смежный с ним угол \(\angle BDC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle BCD\): $$BD = \frac{BC}{\sin \angle BDC} = \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$$.

Теперь найдем площадь треугольника ABD. Для начала найдем угол BAD. По теореме синусов для треугольника ABD:

$$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin \angle ABD}$$.

Угол ABD = 180 - 135 - \(\angle BAD\).

В прямоугольном треугольнике ABC $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$$