4. Рис. 517. Найти: ВС, АС.

Рассмотрим рисунок. Дано, что BE = 4, EK = 5, BK = 6, угол ABC = углу BCA = 30 градусов. Необходимо найти BC и AC.

1) Рассмотрим треугольник BKE. Проведем высоту EH на сторону BK. Треугольник BEH является прямоугольным, в котором угол EBH = 30 градусов. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Следовательно, EH = 1/2 BE = 1/2 × 4 = 2.

2) Найдем BH по теореме Пифагора:

$$ BH = \sqrt{BE^2 - EH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. $$

3) Найдем HK: HK = BK - BH = 6 - 2√3

4) Рассмотрим треугольник EKC. Проведем высоту KF на сторону EC. Т.к. угол EKC = 30 градусов, то KF = 1/2 EK = 1/2 × 5 = 2.5

5) Найдем FC по теореме Пифагора:

$$ FC = \sqrt{EK^2 - KF^2} = \sqrt{5^2 - 2.5^2} = \sqrt{25 - 6.25} = \sqrt{18.75} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2} $$

6) EC = EK + KC = 4 + 4 = 8.

7) Рассмотрим треугольник ABC. Углы при основании равны, следовательно, треугольник равнобедренный и AB = BC.

8) BC = BK + KC, AC = AE + EC

9) KE || AC, т.к. углы BKE и BAC - соответственные и равны. Следовательно, треугольники BKE и BAC подобны по двум углам.

10) Запишем отношение подобия:

$$ \frac{BK}{BC} = \frac{BE}{BA} = \frac{KE}{AC} $$

Из условия следует, что BA = BC, следовательно, BE = BK = 4. Но BK = 6 по условию. Противоречие. Перепроверим условие.

Предположим, что AE = 4. Тогда AB = AE + BE = 4 + 4 = 8. Треугольник ABC равнобедренный, то BC = AB = 8.

Рассмотрим треугольник BEC, в котором BE = 4, KC = BC - BK = 8 - 6 = 2. EK = 5

EC = AE + AC

Треугольник ABC подобен треугольнику EBK.

$$ \frac{EB}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{EK}{AC} $$ $$ \frac{4}{8} = \frac{6}{8} = \frac{5}{AC} $$

4/8 ≠ 6/8. Следовательно, AE ≠ 4.

Задание невозможно решить из-за недостаточности данных.