Рис. 18.28 P=7 ? C Рис. 18.29 3 7 n Рис. 18.30 18.2 ★ Одна сторона равнобедренного треугольни ка равна 5, а другая 12 (рис. 18.28). Найдите пери метр этого треугольника. 18.3 ★☆ Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если одна его сторона в два раза больше другой, а периметр равен 7 см (рис. 18.29). 18.4 ★合會 Сколько существует различных треугольни ков, длины двух сторон которых равны 3 и 7, а длина третьей - целое число (рис. 18.30)? 18.5 ★☆☆ Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что АС + BD < AB + CD (рис. 18.31). 18.6 ★☆☆ Докажите, что сумма всех диагоналей вы- пуклого пятиугольника больше его периметра (рис. 18.32). 18.7 ★☆ Длины трех сторон четырёхугольника по- следовательно равны 1, 5 и 2 (рис. 18.33). Какие значения может принимать длина его четвёртой стороны, если известно, что она целое число? - 18.8 ★☆☆ В ломаной ABCD известны длины трех её AD

18.2:

Пусть равнобедренный треугольник имеет стороны 5, 5 и 12 или 5, 12 и 12.

В первом случае периметр равен 5 + 5 + 12 = 22.

Во втором случае периметр равен 5 + 12 + 12 = 29.

Однако, треугольника со сторонами 5, 5 и 12 не существует, так как не выполняется неравенство треугольника (сумма двух сторон должна быть больше третьей): 5 + 5 < 12.

Значит, периметр равен 29.

18.3:

Пусть x - длина основания, а 2x - длина боковой стороны. Тогда периметр равен x + 2x + 2x = 5x.

По условию, периметр равен 7 см, следовательно, 5x = 7, откуда x = 7/5 = 1.4 см.

Если 2x - длина основания, а x - длина боковой стороны, тогда периметр равен 2x + x + x = 4x.

По условию, периметр равен 7 см, следовательно, 4x = 7, откуда x = 7/4 = 1.75 см, а основание 2x = 3.5 см.

Проверим, существует ли такой треугольник: 1.75 + 1.75 > 3.5 (не выполняется).

Таким образом, длина основания равна 1.4 см, а длина боковой стороны 2.8 см.

18.4:

Пусть длины сторон треугольника 3, 7 и n.

По неравенству треугольника:

n < 3 + 7

3 < 7 + n

7 < 3 + n

Тогда:

n < 10

n > -4 (всегда выполняется, так как n > 0)

n > 4

Так как n - целое число, то n может принимать значения 5, 6, 7, 8, 9.

18.7:

Пусть длины сторон четырехугольника 1, 5, 2 и x.

Тогда:

x < 1 + 5 + 2

1 < 5 + 2 + x

5 < 1 + 2 + x

2 < 1 + 5 + x

Тогда:

x < 8

x > -6 (всегда выполняется, так как x > 0)

x > 2

x > -4 (всегда выполняется, так как x > 0)

Так как x - целое число, то x может принимать значения 3, 4, 5, 6, 7.