Рис. 334 Рис. 335 1123 В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Обозначим равнобедренную трапецию ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, AB = CD - боковые стороны. Из условия задачи BC = AB = CD. ∠BAD = ∠CDA = 70°. AD = 10 см.

1. Проведём высоты BH и CF к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём ∠BAH = 70°. AH = (AD - BC) / 2.

2. Выразим AH через AB и угол ∠BAH.

cos(∠BAH) = AH / AB

AH = AB × cos(∠BAH)

3. Так как BC = AB, то (AD - AB) / 2 = AB × cos(70°)

AD - AB = 2 × AB × cos(70°)

AD = AB × (1 + 2 × cos(70°))

AB = AD / (1 + 2 × cos(70°))

4. Подставим значение AD = 10 см.

AB = 10 / (1 + 2 × cos(70°)) ≈ 10 / (1 + 2 × 0.342) ≈ 10 / 1.684 ≈ 5.938 см.

5. Периметр трапеции P = AD + BC + AB + CD

Так как BC = AB = CD, то P = AD + 3 × AB ≈ 10 + 3 × 5.938 ≈ 10 + 17.814 ≈ 27.814 см.

Ответ: периметр трапеции равен приблизительно 27.814 см.