Рис. 2 Вариант II 1. Докажите равенство треугольни- ков MON и PON на рисунке 3, если ZMON = ∠PON, а луч NO— бис- сектриса ZMNP. Найдите углы треугольника NOP, если ZMNO = = 28°, ZNMO = 42°, ZNOM = 110°. Рис. 3 2. На рисунке 4 ДЕ = ДК, СЕ = СК. С Докажите, что луч СД - биссектри- са угла ЕСК. К Рис. 4 Дополнительно (для тех учащихся, кто более подготовлен): В треугольниках АВС и АВ₁C₁ AB = AB₁, ∠A =LA₁, ∠B = =ДВ. На сторонах ВС и В₁С₁ отмечены точки Д и Д₁ так, что САД = ∠САД. Докажите, что: а) ДАДС = ДАДІС₁; б) ДАДВ = = ДАДВ

1. Рассмотрим треугольники $$MON$$ и $$PON$$.

По условию:

• $$\angle MON = \angle PON$$;
• $$NO$$ - общая сторона.
• $$NO$$ - биссектриса $$\angle MNP$$, следовательно, $$\angle MNO = \angle PNO$$.

Таким образом, треугольники $$MON$$ и $$PON$$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Теперь найдем углы треугольника $$NOP$$.

Дано:

• $$\angle MNO = 28^\circ$$
• $$\angle NMO = 42^\circ$$
• $$\angle NOM = 110^\circ$$
• $$NO$$ - биссектриса $$\angle MNP$$, следовательно, $$\angle PNO = \angle MNO = 28^\circ$$

В треугольнике $$MNO$$ найдем $$\angle NOP$$:

$$\angle NOP = 180^\circ - (\angle MNO + \angle NMO) = 180^\circ - (28^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$

Т.к. треугольники $$MON$$ и $$PON$$ равны, то $$\angle NOP = \angle NOM = 110^\circ$$

$$\angle NPO = \angle NMO = 42^\circ$$

Тогда в треугольнике $$NOP$$:

$$\angle ONP = 180^\circ - (\angle NOP + \angle NPO) = 180^\circ - (110^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$$

Ответ: $$\angle NOP = 110^\circ$$, $$\angle ONP = 28^\circ$$, $$\angle NPO = 42^\circ$$

2. Дано: $$DE = DK, CE = CK$$. Доказать, что луч $$CD$$ - биссектриса угла $$ECK$$.

Рассмотрим треугольники $$DEC$$ и $$DKC$$.

По условию: $$DE = DK, CE = CK$$.

$$CD$$ - общая сторона.

Тогда треугольники $$DEC$$ и $$DKC$$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Следовательно, $$\angle ECD = \angle KCD$$, значит $$CD$$ - биссектриса $$\angle ECK$$.

Ответ: Луч $$CD$$ - биссектриса угла $$ECK$$.

3. Дополнительно (для тех учащихся, кто более подготовлен):

В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$: $$AB = A_1B_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$, $$\angle B = \angle B_1$$. На сторонах $$BC$$ и $$B_1C_1$$ отмечены точки $$Д$$ и $$Д_1$$ так, что $$\angle CAD = \angle C_1A_1Д_1$$. Докажите, что:

а) $$\triangle AДC = \triangle A_1Д_1C_1$$;

б) $$\triangle AДB = \triangle A_1Д_1B_1$$.

Доказательство:

а) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

По условию: $$AB = A_1B_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$, $$\angle B = \angle B_1$$.

Тогда треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Следовательно, $$AC = A_1C_1$$ и $$\angle C = \angle C_1$$.

Так же по условию: $$\angle CAD = \angle C_1A_1Д_1$$.

Тогда, $$\angle ДAB = \angle A - \angle CAD = \angle A_1 - \angle C_1A_1Д_1 = \angle Д_1A_1B_1$$.

Рассмотрим треугольники $$AДC$$ и $$A_1Д_1C_1$$.

$$AC = A_1C_1$$ - доказано выше.

$$\angle CAD = \angle C_1A_1Д_1$$ - по условию.

$$\angle C = \angle C_1$$ - доказано выше.

Тогда треугольники $$AДC$$ и $$A_1Д_1C_1$$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Треугольники $$AДC$$ и $$A_1Д_1C_1$$ равны.

б) Рассмотрим треугольники $$AДB$$ и $$A_1Д_1B_1$$.

$$AB = A_1B_1$$ - по условию.

$$\angle B = \angle B_1$$ - по условию.

$$\angle ДAB = \angle Д_1A_1B_1$$ - доказано выше.

Тогда треугольники $$AДB$$ и $$A_1Д_1B_1$$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Треугольники $$AДB$$ и $$A_1Д_1B_1$$ равны.