Рис. 141 Задача 2 (свойство пересекающихся хорд). Докажите, что если хор- ды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, тO AM. MB = DMMC. Решение. Рассмотрим треугольники АСМ и DBM (рис. 142). Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опи-

Докажем свойство пересекающихся хорд.

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\). Рассмотрим треугольники \(ACM\) и \(DBM\).

Угол \(\angle AMC = \angle DMB\) как вертикальные.

Углы \(\angle 1 = \angle 2\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(AD\).

Следовательно, треугольники \(ACM\) и \(DBM\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{AM}{DM} = \frac{MC}{MB}\)

Преобразуем пропорцию: \(AM \cdot MB = DM \cdot MC\)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что \(AM \cdot MB = DM \cdot MC\)