Рисунок 39 146 Пять участков отделены друг от друга заборами (см. план на рис. 40). Можно ли побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?

Решение:

Эта задача является классическим примером задачи о графах, известной как «Задача о мостах Кёнигсберга». В данном случае участки можно рассматривать как области (вершины графа), а заборы — как пути (рёбра графа), соединяющие эти области.

Для того чтобы иметь возможность пройти через каждый забор ровно один раз, необходимо, чтобы граф был либо Эйлеров, либо имел ровно две вершины нечётной степени.

• Эйлеров путь: Существует, если все вершины графа имеют чётную степень (то есть из каждой области выходит чётное число заборов). В этом случае можно пройти по всем рёбрам ровно один раз и закончить в той же вершине, с которой начали.
• Полуэйлеров путь: Существует, если в графе ровно две вершины имеют нечётную степень. В этом случае можно пройти по всем рёбрам ровно один раз, начиная из одной нечётной вершины и заканчивая в другой.

В данной задаче, как видно из рисунка, есть 5 участков (вершин) и 9 заборов (рёбер). Давайте определим степень каждой вершины:

• На рисунке изображен гексагон с дополнительными диагоналями. В таком графе 6 внешних вершин и 1 центральная. Поскольку у нас 5 участков, и они отделены заборами, предположим, что они расположены вокруг центральной области, или же это отдельный участок, куда мы не можем попасть.
• Из рисунка видно, что у всех 6 внешних точек (если их рассматривать как точки входа/выхода или границы участков) степень нечётная (3 или 5).
• Так как у нас больше двух вершин с нечётной степенью, то пройти через каждый забор ровно один раз невозможно.

Вывод:

Нельзя побывать на каждом участке, перелезв через каждый забор ровно один раз, потому что количество участков (вершин), имеющих нечётное число выходов (заборов), больше двух.

Ответ: Нет, нельзя.