Өрнекті ықшамдаңыз. sin⁴ α + cos⁴ α + 2 sin² α cos² α

Решение:

Данное выражение представляет собой сумму квадратов и удвоенное произведение двух членов, что напоминает формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Рассмотрим исходное выражение:

\( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

Перепишем его, группируя слагаемые:

\( (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

Это соответствует формуле квадрата суммы, где \( a = \sin^2 \alpha \) и \( b = \cos^2 \alpha \). Таким образом, выражение можно представить как:

\( (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 \)

По основному тригонометрическому тождеству, \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставляем это значение в выражение:

\( (1)^2 = 1 \)

Таким образом, упрощённое выражение равно 1.

Ответ: 1