2. Робот автоматически рассылает SMS-уведомления до тех пор, пока отправка не произойдет успешно. Вероятность сбоя отправки равна 1/9. Найдите вероятность того, что: а) сообщение отправится при второй попытке; б) сообщение отправится до четвертой попытки; в) сообщение отправится не раньше третьей попытки.

Решение:

Вероятность успешной отправки: $$p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

Вероятность сбоя отправки: $$q = \frac{1}{9}$$

a) Сообщение отправится при второй попытке означает, что первая попытка была неудачной, а вторая - успешной.

Вероятность этого события:

$$P(A) = q \cdot p = \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{81}$$

б) Сообщение отправится до четвертой попытки означает, что сообщение отправится при первой, второй или третьей попытке.

$$P = p + qp + q^2p = p(1+q+q^2) = \frac{8}{9} (1+\frac{1}{9} + (\frac{1}{9})^2) = \frac{8}{9} \cdot (1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81}) = \frac{8}{9} \cdot \frac{81+9+1}{81} = \frac{8}{9} \cdot \frac{91}{81} = \frac{728}{729}$$

в) Сообщение отправится не раньше третьей попытки означает, что первые две попытки были неудачными, а третья - успешной, или четвертая успешной и т.д. $$P = q^2p + q^3p + ... = q^2 p(1 + q + q^2 + ...) = q^2 p \frac{1}{1-q} = q^2 p \frac{1}{p} = q^2$$

Вероятность того, что сообщение отправится не раньше третьей попытки:

$$P(C) = q^2 = (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}$$

Ответ:

а) $$ \frac{8}{81} $$

б) $$ \frac{728}{729}$$

в) $$ \frac{1}{81}$$