11:21 9707 40.80 ропом 0, 1) прямоугольника с меньшей сто- роной а и острым углом а между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см². 1105 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со сто- роной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотену- зой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании с и высотой һ, проведённой к основанию. 1106 Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомо- биля, если известно, что оно сделало 500 оборотов. 1107 Метр составляет приближённо 1 часть земного 40 000 000 экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара. 1108 Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутни- ка Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км. 1109 Найдите длину дуги окружности радиуса её градусная мера равна: а) 30°; 6

1105

• а) Длина окружности, вписанной в квадрат со стороной a, равна \( \pi a \).
• б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике с гипотенузой c, катеты равны \( \frac{c}{\sqrt{2}} \). Радиус вписанной окружности равен \( r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{2\frac{c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2} \). Длина окружности равна \( 2\pi r = \pi c(\sqrt{2}-1) \).
• в) В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и острым углом \( \alpha \), катет, прилежащий к углу \( \alpha \), равен \( c \cdot cos(\alpha) \), а противолежащий — \( c \cdot sin(\alpha) \). Радиус вписанной окружности равен \( r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{c \cdot cos(\alpha) + c \cdot sin(\alpha) - c}{2} = \frac{c(cos(\alpha) + sin(\alpha) - 1)}{2} \). Длина окружности равна \( 2\pi r = \pi c(cos(\alpha) + sin(\alpha) - 1) \).
• г) В равнобедренном треугольнике с углом при основании \( \alpha \) и высотой h, основание равно \( 2h \cdot tg(\alpha) \), боковые стороны равны \( \frac{h}{sin(\alpha)} \). Радиус вписанной окружности равен \( r = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{2h \cdot tg(\alpha) + 2\frac{h}{sin(\alpha)} - 2\frac{h}{sin(\alpha)}}{2} = h \cdot tg(\alpha) \). Длина окружности равна \( 2\pi r = 2\pi h \cdot tg(\alpha) \).
• д) Площадь правильного шестиугольника равна \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \), где a - сторона шестиугольника. Тогда \( a = \sqrt{\frac{2S}{3\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 24\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}} = \sqrt{16} = 4 \) см. Радиус вписанной окружности равен \( r = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \). Длина окружности равна \( 2\pi r = 4\pi \sqrt{3} \) см.

1106

Автомобиль прошел 989 м, что составляет 98900 см. Количество оборотов 500.

Длина окружности колеса: \( \frac{98900}{500} = 197.8 \) см.

Диаметр колеса: \( \frac{197.8}{\pi} \approx 62.96 \) см.

1107

Метр составляет приближённо \( \frac{1}{40000000} \) часть земного экватора.

Длина экватора: 40 000 000 м = 40 000 км.

Длина экватора равна \( \pi d \), где d - диаметр Земли. Тогда диаметр Земли: \( d = \frac{40000}{\pi} \approx 12732.4 \) км.

1108

Радиус орбиты спутника: 6370 + 320 = 6690 км.

Длина круговой орбиты: \( 2\pi \cdot 6690 \approx 42035.4 \) км.

1109

Длина дуги окружности радиуса 6 см, градусная мера которой 30°: \( L = \frac{\pi r \alpha}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30}{180} = \pi \) см.

Ответ: Задача решена. Все вычисления выполнены.