Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРозарий представляет собой квадрат размером 8 × 8. В каждую его клетку можно посадить розы или оставить клетку свободной. Розы нельзя сажать слишком тесно — если в какой-то клетке посадить розы, то из четырёх соседствующих с ней по стороне клеток розы должны быть посажены не более чем в двух. Соблюдая эти правила, отметьте на схеме максимальное количество клеток, в которые получится посадить розы. Чем больше клеток, занятых розами, будет в вашем ответе, тем больше баллов вы получите.
Ответ:
Правило:
Если в клетке посажены розы, то в соседних с ней по стороне клетках розы могут быть посажены не более чем в двух.
Решение:
Чтобы максимизировать количество роз, будем сажать их в шахматном порядке, избегая посадки в соседние клетки. Однако, правило позволяет сажать розы в двух соседних клетках. Чтобы получить максимальное количество роз, мы должны заполнить как можно больше клеток, соблюдая ограничение:
- В каждой клетке может быть роза или пусто.
- Если клетка содержит розу, то из 4 её соседей (сверху, снизу, слева, справа) розы могут быть посажены максимум в двух.
Максимальное количество роз достигается, когда мы заполняем клетки таким образом, чтобы избежать посадки роз в более чем двух соседних клетках. Простейший способ — это «шахматный» порядок. В сетке 8x8, если мы заполняем каждую вторую клетку, мы сажаем 32 розы. Но это не учитывает правило о соседях.
Рассмотрим вариант, когда мы сажаем розы в каждую клетку, кроме одной в каждом блоке 2x2, оставляя пустой одну клетку, например, в верхнем левом углу.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 1 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 2 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 3 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 4 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 5 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 6 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 7 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 8 | R | R | R | R | R | R | R | R |
В этом случае, каждая клетка имеет 4 соседа. Если в клетке есть роза, то её соседи также имеют розы. Например, клетка (2,2) имеет соседей (1,2), (3,2), (2,1), (2,3). Если все они тоже имеют розы, это нарушает правило.
Для максимизации, заполним клетки так: каждый блок 2x2 заполним тремя розами, оставляя одну клетку пустой. Таким образом, каждая роза будет иметь максимум 2 соседей с розами. Это достигается, если заполнить 3/4 клеток.
Общее количество клеток: 8 × 8 = 64.
Максимальное количество роз: 64 * (3/4) = 48.
Для визуализации: заполняем строки парами, где первая строка имеет розы, а вторая — пропускает каждую вторую клетку. Или, в каждом квадрате 2x2, три клетки с розами и одна пустая.
Один из вариантов заполнения:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 1 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 2 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 3 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 4 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 5 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 6 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 7 | R | R | R | R | R | R | R | R |
| 8 | R | R | R | R | R | R | R | R |
Ответ: 48.
