Розв’язати нерівність: \(3(\sqrt{2})^x-7\cdot 2^{x/4}-20\ge 0\).

Перевод задания: Решить неравенство.

Позначимо \(t=2^{x/4}\), тоді \(t>0\), а \((\sqrt{2})^x=2^{x/2}=t^2\).

Підставляємо й розв’язуємо квадратну нерівність:

\(3t^2-7t-20\ge 0\).

Знаходимо корені рівняння \(3t^2-7t-20=0\):

\(D=(-7)^2-4\cdot3\cdot(-20)=289\), \(\sqrt D=17\).

\(t_1=\frac{7-17}{6}=-\frac{5}{3},\quad t_2=\frac{7+17}{6}=4\).

Оскільки парабола напрямлена вгору, нерівність виконується при \(t\le-\frac{5}{3}\) або \(t\ge4\). Але \(t>0\), тому залишається \(t\ge4\).

Повертаємося до заміни: \(2^{x/4}\ge4=2^2\). Оскільки основа 2 більша за 1, маємо \(\frac{x}{4}\ge2\), звідси \(x\ge8\).

Відповідь: \(x\in[8;+\infty)\).

Перевод решения: Обозначим \(t=2^{x/4}\), тогда \(t>0\), а \((\sqrt{2})^x=2^{x/2}=t^2\).

Подставляем и решаем квадратное неравенство: \(3t^2-7t-20\ge0\).

Корни уравнения \(3t^2-7t-20=0\): дискриминант \(D=289\), поэтому корни равны \(-\frac{5}{3}\) и \(4\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при \(t\le-\frac{5}{3}\) или \(t\ge4\). С учётом условия \(t>0\) остаётся \(t\ge4\).

Возвращаемся к замене: \(2^{x/4}\ge4=2^2\). Так как основание 2 больше 1, получаем \(x/4\ge2\), откуда \(x\ge8\).

Ответ: \(x\in[8;+\infty)\).