Розв'яжіть рівняння 3cos2x + 7sinx - 5 = 0

Розв'язання:

Для розв'язання цього тригонометричного рівняння нам потрібно звести його до однієї тригонометричної функції. Скористаємося формулою косинуса подвійного кута: $$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$$.

1. Підстановка: Замінимо $$\cos(2x)$$ у вихідному рівнянні:
   \[ 3(1 - 2\sin^2(x)) + 7\sin(x) - 5 = 0 \]
2. Розкриття дужок:
   \[ 3 - 6\sin^2(x) + 7\sin(x) - 5 = 0 \]
3. Зведення подібних доданків:
   \[ -6\sin^2(x) + 7\sin(x) - 2 = 0 \]
4. Помножимо на -1 для зручності:
   \[ 6\sin^2(x) - 7\sin(x) + 2 = 0 \]
5. Заміна змінної: Введемо заміну: нехай $$t = \sin(x)$$. Тоді рівняння набуває вигляду квадратного рівняння:
   \[ 6t^2 - 7t + 2 = 0 \]
6. Розв'язання квадратного рівняння: Знайдемо дискримінант $$D = b^2 - 4ac$$:
   \[ D = (-7)^2 - 4(6)(2) = 49 - 48 = 1 \]Знайдемо корені $$t_1$$ та $$t_2$$ за формулою $$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:
   \[ t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2(6)} = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
   \[ t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2(6)} = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
7. Зворотна заміна: Повертаємося до заміни $$t = \sin(x)$$.
   Випадок 1: $$\sin(x) = \frac{2}{3}$$
   Розв'язки цього рівняння: $$x = \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi n$$, де $$n \in \mathbb{Z}$$
   та $$x = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k$$, де $$k \in \mathbb{Z}$$.
   Випадок 2: $$\sin(x) = \frac{1}{2}$$
   Розв'язки цього рівняння:
   $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$$, де $$m \in \mathbb{Z}$$
   та $$x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi p = \frac{5\pi}{6} + 2\pi p$$, де $$p \in \mathbb{Z}$$.

Відповідь:

Рівняння має чотири серії розв'язків:

• $$x = \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi n$$, $$n \in \mathbb{Z}$$
• $$x = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k$$, $$k \in \mathbb{Z}$$
• $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$$, $$m \in \mathbb{Z}$$
• $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi p$$, $$p \in \mathbb{Z}$$