4 рукописи случайно раскладывают по 3 папкам. Определи, какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

Для решения этой задачи нам нужно рассчитать общее количество способов разложить 4 рукописи по 3 папкам и количество способов, когда ровно одна папка остается пустой.

1. Общее количество способов разложить 4 рукописи по 3 папкам:

Каждая рукопись может быть помещена в любую из 3 папок. Таким образом, для каждой из 4 рукописей есть 3 варианта. Следовательно, общее количество способов равно $$3^4 = 81$$.

2. Количество способов, когда ровно одна папка остается пустой:

Если ровно одна папка остается пустой, то все 4 рукописи должны быть распределены по оставшимся двум папкам.

• Сначала выберем, какая из трех папок будет пустой. Это можно сделать 3 способами.
• Теперь нужно распределить 4 рукописи по 2 папкам так, чтобы ни одна из этих двух папок не была пустой. Общее количество способов распределить 4 рукописи по 2 папкам равно $$2^4 = 16$$. Однако, сюда входят 2 случая, когда все рукописи попадают в одну папку (либо в первую, либо во вторую). Эти случаи нам не подходят, так как ни одна папка не должна быть пустой.
• Значит, нужно вычесть эти 2 случая: $$16 - 2 = 14$$.

Таким образом, количество способов, когда ровно одна папка остается пустой, равно $$3 \cdot 14 = 42$$.

3. Вероятность:

Вероятность того, что ровно одна папка останется пустой, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$$P = \frac{42}{81}$$

4. Сокращение дроби:

Дробь $$rac{42}{81}$$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$$\frac{42}{81} = \frac{42 \div 3}{81 \div 3} = \frac{14}{27}$$

Ответ: $$P = \frac{14}{27}$$