Ряд Фурье функции f(x) = x²(-1< x < 1), T = 2в точке х₀ = -1сходится к значению (наберите число)

Решение:

Функция \( f(x) = x^2 \) является чётной на интервале \( (-1, 1) \). Период \( T = 2 \).

Ряд Фурье для чётной функции на интервале \( [-L, L] \) имеет вид:

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{n \pi x}{L}) \]\[ a_0 = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) dx \]\[ a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos(\frac{n \pi x}{L}) dx \]

В нашем случае \( L = 1 \) и \( f(x) = x^2 \).

Найдём \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{2}{1} \int_0^1 x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3} \]

Найдём \( a_n \):

\[ a_n = \frac{2}{1} \int_0^1 x^2 \cos(n \pi x) dx \]

Используем интегрирование по частям дважды.

Первое интегрирование по частям: \( u = x^2 \), \( dv = \cos(n \pi x) dx \). Тогда \( du = 2x dx \), \( v = \frac{1}{n \pi} \sin(n \pi x) \).

\[ a_n = 2 \left[ \frac{x^2}{n \pi} \sin(n \pi x) \right]_0^1 - 2 \int_0^1 \frac{1}{n \pi} \sin(n \pi x) (2x dx) \]\[ a_n = 2 \left( \frac{1^2}{n \pi} \sin(n \pi) - 0 \right) - \frac{4}{n \pi} \int_0^1 x \sin(n \pi x) dx \]

Так как \( \sin(n \pi) = 0 \) для любого целого \( n \), первый член равен нулю.

Второе интегрирование по частям для \( \int_0^1 x \sin(n \pi x) dx \): \( u = x \), \( dv = \sin(n \pi x) dx \). Тогда \( du = dx \), \( v = -\frac{1}{n \pi} \cos(n \pi x) \).

\[ \int_0^1 x \sin(n \pi x) dx = \left[ -\frac{x}{n \pi} \cos(n \pi x) \right]_0^1 - \int_0^1 -\frac{1}{n \pi} \cos(n \pi x) dx \]\[ = \left( -\frac{1}{n \pi} \cos(n \pi) - 0 \right) + \frac{1}{n \pi} \int_0^1 \cos(n \pi x) dx \]\[ = -\frac{1}{n \pi} \cos(n \pi) + \frac{1}{n \pi} \left[ \frac{1}{n \pi} \sin(n \pi x) \right]_0^1 \]

Так как \( \sin(n \pi) = 0 \) и \( \sin(0) = 0 \), последний член равен нулю.

Таким образом, \( \int_0^1 x \sin(n \pi x) dx = -\frac{1}{n \pi} \cos(n \pi) \).

Подставляем обратно в \( a_n \):

\[ a_n = -\frac{4}{n \pi} \left( -\frac{1}{n \pi} \cos(n \pi) \right) = \frac{4}{(n \pi)^2} \cos(n \pi) \]

Так как \( \cos(n \pi) = (-1)^n \), то \( a_n = \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} \).

Ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) \sim \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} \cos(n \pi x) \]

По условию, ряд сходится к значению в точке \( x_0 = -1 \).

Поскольку функция \( f(x) = x^2 \) является чётной, значение ряда Фурье в точке \( x = -1 \) будет равно значению функции в этой точке, так как \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) и \( f(1) = 1^2 = 1 \). Ряд Фурье для периодической функции совпадает со значением самой функции на концах интервала, если функция непрерывна. В данном случае, функция \( f(x)=x^2 \) непрерывна. При \( x = -1 \) ряд Фурье будет равен \( f(-1) \) или \( f(1) \) (из-за периодичности и чётности).

Подставим \( x = -1 \) в ряд Фурье:

\[ \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} \cos(n \pi (-1)) = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} \cos(-n \pi) = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} \cos(n \pi) \]\[ = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} (-1)^n = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^{2n}}{(n \pi)^2} = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(n \pi)^2} \]

Это ряд для \( f(-1) \).

Также, мы можем подставить \( x = 1 \) в ряд Фурье:

\[ \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} \cos(n \pi) = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (-1)^n}{(n \pi)^2} (-1)^n = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(n \pi)^2} \]

Значение функции \( f(x) = x^2 \) в точке \( x = -1 \) равно \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \).

Сходимость ряда Фурье к значению функции на границе интервала \( [-1, 1] \) зависит от свойств функции. Для гладких функций ряд Фурье сходится к значению функции. В данном случае, \( f(x)=x^2 \) является гладкой. Следовательно, ряд Фурье сходится к \( f(-1) \).

Для чётной функции \( f(x) \) на \( [-L, L] \), ряд Фурье на \( x = -L \) будет сходиться к \( f(-L) \). Здесь \( L = 1 \), \( x_0 = -1 \), \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \).

Сумма ряда Фурье при \( x = -1 \) равна \( f(-1) \) , поскольку \( f(x) \) является чётной и непрерывной.

Ответ: 1