Ряд Фурье функции f(x) = |x| (-π < x ≤ π), T = 2π, в точке x₀ = -π/2 сходится к значению

Решение:

Функция \( f(x) = |x| \) является чётной на отрезке \( [-\pi, \pi] \).

Ряд Фурье для чётной функции имеет вид:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \]\[ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{2} - 0 \right) = \pi \]\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) dx \]

Интегрируем по частям:

Пусть \( u = x \Rightarrow du = dx \), \( dv = \cos(nx) dx \Rightarrow v = \frac{1}{n} \sin(nx) \.

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x}{n} \sin(nx) \right]_0^{\pi} - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{n} \sin(nx) dx \]\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi}{n} \sin(n\pi) - 0 \right) - \frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} \]\[ a_n = 0 + \frac{2}{n^2\pi} \left[ \cos(nx) \right]_0^{\pi} = \frac{2}{n^2\pi} (\cos(n\pi) - \cos(0)) \]\[ a_n = \frac{2}{n^2\pi} ((-1)^n - 1) \]

При \( n \) — чётном, \( (-1)^n = 1 \), тогда \( a_n = 0 \).

При \( n \) — нечётном, \( (-1)^n = -1 \), тогда \( a_n = \frac{2}{n^2\pi} (-1 - 1) = -\frac{4}{n^2\pi} \.

Ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{-4}{(2k+1)^2\pi} \cos((2k+1)x) \]

Теперь найдём значение ряда в точке \( x_0 = -\frac{\pi}{2} \). Так как \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \), то \( \cos((2k+1)(-\frac{\pi}{2})) = \cos((2k+1)\frac{\pi}{2}) \.

При \( k=0 \), \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \).

При \( k=1 \), \( \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \).

Все члены ряда, содержащие косинус, равны нулю в точке \( x_0 = -\frac{\pi}{2} \) (и в \( x_0 = \frac{\pi}{2} \)).

Таким образом, ряд сходится к \( \frac{a_0}{2} \) в этой точке.

\[ f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \]

Ответ: \( \frac{\pi}{2} \).