Ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^3}\) сходится на промежутке

Решение:

Для определения промежутка сходимости степенного ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^3}\) воспользуемся признаком Даламбера.

1. Найдем предел отношения модулей двух соседних членов ряда: \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^3}}{\frac{x^n}{n^3}} \right| \)
2. Упростим выражение: \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)^3} \cdot \frac{n^3}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^3 \)
3. Вычислим предел: \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^3 = \left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \right)^3 = (1)^3 = 1 \)
4. Таким образом, \( L = |x| \cdot 1 = |x| \).
5. По признаку Даламбера ряд сходится, если \( L < 1 \), то есть \( |x| < 1 \). Это соответствует промежутку \( -1 < x < 1 \).
6. Теперь проверим поведение ряда на границах промежутка: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
7. При \( x = 1 \) ряд принимает вид: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{n^3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \). Это обобщённый гармонический ряд \( \sum \frac{1}{n^p} \) с \( p = 3 \). Так как \( p > 1 \), ряд сходится.
8. При \( x = -1 \) ряд принимает вид: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} \). Это знакопеременный ряд. Его абсолютная величина \( \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^n}{n^3} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \) сходится (как показано выше). Следовательно, ряд абсолютно сходится.
9. Объединяя результаты, получаем, что ряд сходится на промежутке \( [-1, 1] \).

Ответ: -1 ≤ x ≤ 1