С —20. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. ФОРМУЛА П-ГО ЧЛЕНА • 1. Зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6; 0,8; ..., найдите следующие за ними четыре члена. 2. В геометрической прогрессии (аn) известны а₁ =3,2 и q=1/2. Найдите: a) a2; 6) a4; в) а6; г) ак+1· 3. Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) b6, если b₁ =2, q=3; в) b4, если b₁=128, q=1/4; 6) b9, если b₁ = 16, q=-1/2; г) b7, если b₁=4, q=√3. 4. Найдите первый член геометрической прогрессии (аn), в которой: a) a5=1/64, q=1/2; 6) a₁=243, q= -3. 5. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn), в которой: a) bs=11, b₁=99; 6) b₁=100, b=9. 6. Между числами 1/16 и 16 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию. 7. Последовательность (аn) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность: a) a₁-1; a₂-1; аз — 1; ...; 6) 4a1; 4а2; 4аз; ...; в) 1/a₁; 1/a₂; 1/аз; ...? 8. Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что разность между ее пятым и третьим членами равна 72, а разность между четвертым и вторым членами равна 36.

1. Нахождение следующих членов геометрической прогрессии

Дана геометрическая прогрессия: 1,6; 0,8; ...

Чтобы найти следующие члены, нужно определить знаменатель q, а затем умножать каждый член на этот знаменатель.

Шаг 1: Найдём знаменатель q.

\[q = \frac{0.8}{1.6} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Шаг 2: Найдём следующие четыре члена.

• Третий член: \[0.8 \cdot 0.5 = 0.4\]
• Четвёртый член: \[0.4 \cdot 0.5 = 0.2\]
• Пятый член: \[0.2 \cdot 0.5 = 0.1\]
• Шестой член: \[0.1 \cdot 0.5 = 0.05\]

Ответ: 0,4; 0,2; 0,1; 0,05

2. Нахождение членов геометрической прогрессии

Известно: \[a_1 = 3.2, q = \frac{1}{2}\]

а) Найдём a₂:

\[a_2 = a_1 \cdot q = 3.2 \cdot \frac{1}{2} = 1.6\]

б) Найдём a₄:

\[a_4 = a_1 \cdot q^3 = 3.2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 3.2 \cdot \frac{1}{8} = 0.4\]

в) Найдём a₆:

\[a_6 = a_1 \cdot q^5 = 3.2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 3.2 \cdot \frac{1}{32} = 0.1\]

г) Найдём aₖ₊₁:

\[a_{k+1} = a_1 \cdot q^k = 3.2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k\]

Ответ: a) 1.6; б) 0.4; в) 0.1; г) \[3.2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k\]

3. Нахождение членов геометрической прогрессии

а) Найдём b₆, если \[b_1 = 2, q = 3\]:

\[b_6 = b_1 \cdot q^5 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486\]

в) Найдём b₄, если \[b_1 = 128, q = \frac{1}{4}\]:

\[b_4 = b_1 \cdot q^3 = 128 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 = 128 \cdot \frac{1}{64} = 2\]

б) Найдём b₉, если \[b_1 = 16, q = -\frac{1}{2}\]:

\[b_9 = b_1 \cdot q^8 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^8 = 16 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{16}\]

г) Найдём b₇, если \[b_1 = 4, q = \sqrt{3}\]:

\[b_7 = b_1 \cdot q^6 = 4 \cdot (\sqrt{3})^6 = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108\]

Ответ: a) 486; в) 2; б) 1/16; г) 108

4. Нахождение первого члена геометрической прогрессии

a) Известно: \[a_5 = \frac{1}{64}, q = \frac{1}{2}\]

\[a_5 = a_1 \cdot q^4\]

\[a_1 = \frac{a_5}{q^4} = \frac{\frac{1}{64}}{\left(\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\frac{1}{64}}{\frac{1}{16}} = \frac{1}{64} \cdot 16 = \frac{1}{4}\]

б) Известно: \[a_6 = 243, q = -3\]

\[a_6 = a_1 \cdot q^5\]

\[a_1 = \frac{a_6}{q^5} = \frac{243}{(-3)^5} = \frac{243}{-243} = -1\]

Ответ: a) 1/4; б) -1

5. Нахождение знаменателя геометрической прогрессии

a) Известно: \[b_5 = 11, b_1 = 99\]

\[b_5 = b_1 \cdot q^4\]

\[q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}\]

\[q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]

б) Известно: \[b_7 = 100, b_8 = 9\]

\[b_8 = b_7 \cdot q\]

\[q = \frac{b_8}{b_7} = \frac{9}{100}\]

Ответ: a) \[\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]; б) 9/100

6. Вставка чисел между 1/16 и 16

Нужно вставить три числа x, y, z, чтобы получилась геометрическая прогрессия: \[\frac{1}{16}, x, y, z, 16\]

Пусть первый член \[b_1 = \frac{1}{16}\] и пятый член \[b_5 = 16\]

\[b_5 = b_1 \cdot q^4\]

\[q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{16}{\frac{1}{16}} = 16 \cdot 16 = 256\]

\[q = \pm \sqrt[4]{256} = \pm 4\]

Рассмотрим случай q = 4:

• \[x = b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{16} \cdot 4 = \frac{1}{4}\]
• \[y = b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{1}{16} \cdot 4^2 = \frac{1}{16} \cdot 16 = 1\]
• \[z = b_4 = b_1 \cdot q^3 = \frac{1}{16} \cdot 4^3 = \frac{1}{16} \cdot 64 = 4\]

Рассмотрим случай q = -4:

• \[x = b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{16} \cdot (-4) = -\frac{1}{4}\]
• \[y = b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{1}{16} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{16} \cdot 16 = 1\]
• \[z = b_4 = b_1 \cdot q^3 = \frac{1}{16} \cdot (-4)^3 = \frac{1}{16} \cdot (-64) = -4\]

Ответ: Числа: 1/4, 1, 4 или -1/4, 1, -4

7. Является ли последовательность геометрической прогрессией

a) Последовательность: \[a_n = a_1 - 1, a_2 - 1, a_3 - 1, ...\]

Если исходная последовательность геометрическая, то \[\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}\]

Для новой последовательности:

\[\frac{a_2 - 1}{a_1 - 1} = \frac{a_3 - 1}{a_2 - 1}\]

Это не всегда выполняется, поэтому последовательность не является геометрической прогрессией.

б) Последовательность: \[4a_1, 4a_2, 4a_3, ...\]

\[\frac{4a_2}{4a_1} = \frac{a_2}{a_1}\]

\[\frac{4a_3}{4a_2} = \frac{a_3}{a_2}\]

Так как отношение между членами остаётся постоянным, последовательность является геометрической прогрессией.

в) Последовательность: \[\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, ...\]

\[\frac{\frac{1}{a_2}}{\frac{1}{a_1}} = \frac{a_1}{a_2}\]

\[\frac{\frac{1}{a_3}}{\frac{1}{a_2}} = \frac{a_2}{a_3}\]

Так как \[\frac{a_1}{a_2}\] не всегда равно \[\frac{a_2}{a_3}\] , последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: a) Нет; б) Да; в) Нет

8. Определение первого члена и знаменателя геометрической прогрессии

Пусть геометрическая прогрессия имеет первый член a и знаменатель q.

Тогда члены прогрессии можно записать как:

• Второй член: \[aq\]
• Третий член: \[aq^2\]
• Четвёртый член: \[aq^3\]
• Пятый член: \[aq^4\]

Из условия задачи имеем два уравнения:

\[aq^4 - aq^2 = 72\]

\[aq^3 - aq = 36\]

Разделим первое уравнение на второе:

\[\frac{aq^4 - aq^2}{aq^3 - aq} = \frac{72}{36}\]

\[\frac{aq^2(q^2 - 1)}{aq(q^2 - 1)} = 2\]

\[q = 2\]

Подставим q = 2 во второе уравнение:

\[a \cdot 2^3 - a \cdot 2 = 36\]

\[8a - 2a = 36\]

\[6a = 36\]

\[a = 6\]

Ответ: Первый член равен 6, знаменатель равен 2