С—1. 1. На рисунке 1 ABCD — трапеция, у которой AB = CD = 4, BC = 2, AD = 5. Найдите, если это возможно, такое число k, что: 1) вектор BC = k вектор AD; 2) вектор AB = k вектор DC. 2. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC, а E — середина отрезка AM. Разложите вектор AE по векторам AB = a и AC = b.

1.

1) Векторы BC и AD направлены одинаково, поскольку это основания трапеции, а их длины равны 2 и 5. Поэтому \(\vec{BC}=\frac{2}{5}\vec{AD}\), то есть \(k=\frac{2}{5}\).

2) Для равенства \(\vec{AB}=k\vec{DC}\) векторы AB и DC должны быть параллельны. Но это боковые стороны трапеции с разными основаниями; они не параллельны. Следовательно, такого числа k не существует.

2. Так как M — середина BC, то \(\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\). E — середина AM, поэтому \(\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AM}=\frac{1}{4}(\vec a+\vec b)\).

Ответ: 1) k = 2/5; 2) такого k нет; \(\vec{AE}=\frac14\vec a+\frac14\vec b\).