С.1. В олимпиаде по математике приняли участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по теории вероятностей. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии — 18 человек, по теории вероятностей — 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и теории вероятностей — 9 человек, по геометрии и теории вероятностей — 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. а) Сколько участников решили только по одной задаче? б) Сколько было участников, решивших все задачи?

Всего хотя бы одну задачу решили 40 − 3 = 37 участников.

Обозначим через x число участников, решивших все три задачи. По формуле включений-исключений:

37 = 20 + 18 + 18 − 7 − 9 − 8 + x.

Следовательно, 37 = 32 + x, откуда x = 5.

Число участников, решивших ровно одну задачу, равно сумме чисел решивших только алгебру, только геометрию и только теорию вероятностей:

(20 − 7 − 9 + 5) + (18 − 7 − 8 + 5) + (18 − 9 − 8 + 5) = 9 + 8 + 6 = 23.

Ответ: а) 23 участника; б) 5 участников.