С—3. 1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = CD, ∠B = 70°, ∠BCA = 60°, ∠ACD = 50°. Докажите, что BC = AD. 2. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причём точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ∠ABC = ∠ADC.

1.

1. В треугольнике ABC: ∠BAC = 180° − 70° − 60° = 50°.
2. По условию ∠BAC = ∠ACD = 50°, поэтому AC ∥ BD? Эти углы образованы прямыми AB и AC, а также AC и CD, соответственно, и сами по себе параллельности не дают. Вместо этого используем синусовую теорему в треугольниках ABC и ACD: ∠CAD = 180° − ∠ACD − ∠ADC, но угол ADC неизвестен. Из AB = CD и данных углов заключить BC = AD невозможно: условие недостаточно для требуемого утверждения.

Контрпример: положим A=(0,0), C=(1,0). Условие ∠BCA=60° и ∠ABC=70° задаёт треугольник ABC, где AB=sin60°/sin70°. Условие ∠ACD=50° задаёт луч CD, но равенство CD=AB определяет D на этом луче однозначно. При этом длина AD не обязана равняться BC; например, по теореме косинусов в треугольнике ACD значение AD зависит от ∠CAD, который здесь не задан отдельно, а меняется вместе с выбором конфигурации. Следовательно, доказать заявленное по указанным данным нельзя.

2.

Пусть O — середина BD и центр окружности с диаметром AC. Так как O — центр окружности, OA = OC = OB = OD. По теореме Фалеса ∠ABC = 90° и ∠ADC = 90°, поскольку эти вписанные углы опираются на диаметр AC.

Однако из того, что обе величины равны 90°, следует ∠ABC = ∠ADC.

Ответ: в задаче 1 приведённых условий недостаточно для доказательства; в задаче 2 ∠ABC = ∠ADC = 90°.