С-33. Преобразование целого выражения в многочлен

Вариант 1

1. Выпишите выражения, которые являются целыми:

Целые выражения — это выражения, которые содержат только целые числа, переменные и операции сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень. Деление на переменную или выражение с переменной делает выражение дробным.

Из предложенных выражений целыми являются:

\( 2ab^3 \); \( 5a(a^2 + 3b) \)

Дробными являются:

\( \frac{2x}{5-x} \) (знаменатель содержит переменную \( x \))

\( 3x^2 + \frac{1}{5} \) (свободный член \( \frac{1}{5} \) — дробное число)

\( \frac{6y-x}{3} \) (делится на число 3, но числитель содержит переменную)

\( 4 - \frac{1}{a} \) (знаменатель содержит переменную \( a \))

2. Упростите выражение:

a) \( 5(x - y)^2 - 3x(x + y) \)

Раскроем скобки:

\[ 5(x^2 - 2xy + y^2) - (3x^2 + 3xy) \]

\[ 5x^2 - 10xy + 5y^2 - 3x^2 - 3xy \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (5x^2 - 3x^2) + (-10xy - 3xy) + 5y^2 \]

\[ 2x^2 - 13xy + 5y^2 \]

б) \( (a + 4)(a - 5) - (4 - a)^2 \)

Раскроем первую скобку:

\[ (a^2 - 5a + 4a - 20) = a^2 - a - 20 \]

Раскроем вторую скобку (квадрат разности):

\[ (4 - a)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot a + a^2 = 16 - 8a + a^2 \]

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\[ (a^2 - a - 20) - (16 - 8a + a^2) \]

\[ a^2 - a - 20 - 16 + 8a - a^2 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (a^2 - a^2) + (-a + 8a) + (-20 - 16) \]

\[ 7a - 36 \]

3. Решите уравнение:

a) \( x(x + 1)(x - 1) - x(x^2 + 5) = 12 \)

Используем формулу разности квадратов \( (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \):

\[ x(x^2 - 1) - (x^3 + 5x) = 12 \]

\[ x^3 - x - x^3 - 5x = 12 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (x^3 - x^3) + (-x - 5x) = 12 \]

\[ -6x = 12 \]

Разделим обе части на -6:

\[ x = \frac{12}{-6} \]

\[ x = -2 \]

б) \( x^2(x + 3) - x(x - 2)^2 = 7x^2 - 2 \)

Раскроем скобки:

\[ (x^3 + 3x^2) - x(x^2 - 4x + 4) = 7x^2 - 2 \]

\[ x^3 + 3x^2 - (x^3 - 4x^2 + 4x) = 7x^2 - 2 \]

\[ x^3 + 3x^2 - x^3 + 4x^2 - 4x = 7x^2 - 2 \]

Приведём подобные слагаемые в левой части:

\[ (x^3 - x^3) + (3x^2 + 4x^2) - 4x = 7x^2 - 2 \]

\[ 7x^2 - 4x = 7x^2 - 2 \]

Вычтем \( 7x^2 \) из обеих частей:

\[ -4x = -2 \]

Разделим обе части на -4:

\[ x = \frac{-2}{-4} \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Вариант 2

1. Выпишите выражения, которые являются целыми:

Целыми являются выражения, где нет деления на переменную.

Из предложенных выражений целыми являются:

\( 3(a - b^3) \); \( 5a^5x \); \( \frac{2}{5} - 6a^3 \); \( 11 + \frac{2}{3b} \) (это выражение дробное, знаменатель содержит переменную \( b \)) ; \( \frac{3 - 4xy}{8} \) (числитель содержит переменные, но знаменатель — число, поэтому оно считается целым).

Следовательно, целыми являются:

\( 3(a - b^3) \); \( 5a^5x \); \( \frac{2}{5} - 6a^3 \); \( \frac{3 - 4xy}{8} \)

2. Упростите выражение:

a) \( 6(c + d)^2 - 5c(c - d) \)

Раскроем скобки:

\[ 6(c^2 + 2cd + d^2) - (5c^2 - 5cd) \]

\[ 6c^2 + 12cd + 6d^2 - 5c^2 + 5cd \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (6c^2 - 5c^2) + (12cd + 5cd) + 6d^2 \]

\[ c^2 + 17cd + 6d^2 \]

б) \( (x - 3)(x + 8) - (2 - x)^2 \)

Раскроем первую скобку:

\[ (x^2 + 8x - 3x - 24) = x^2 + 5x - 24 \]

Раскроем вторую скобку (квадрат разности):

\[ (2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2 \]

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\[ (x^2 + 5x - 24) - (4 - 4x + x^2) \]

\[ x^2 + 5x - 24 - 4 + 4x - x^2 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (x^2 - x^2) + (5x + 4x) + (-24 - 4) \]

\[ 9x - 28 \]

3. Решите уравнение:

a) \( y(y - 3)(y + 3) - y(y^2 + 6) = 30 \)

Используем формулу разности квадратов \( (y-3)(y+3) = y^2 - 9 \):

\[ y(y^2 - 9) - (y^3 + 6y) = 30 \]

\[ y^3 - 9y - y^3 - 6y = 30 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (y^3 - y^3) + (-9y - 6y) = 30 \]

\[ -15y = 30 \]

Разделим обе части на -15:

\[ y = \frac{30}{-15} \]

\[ y = -2 \]

б) \( y^2(y - 5) - y(y + 2)^2 = -2 - 9x^2 \)

Раскроем скобки:

\[ (y^3 - 5y^2) - y(y^2 + 4y + 4) = -2 - 9x^2 \]

\[ y^3 - 5y^2 - (y^3 + 4y^2 + 4y) = -2 - 9x^2 \]

\[ y^3 - 5y^2 - y^3 - 4y^2 - 4y = -2 - 9x^2 \]

Приведём подобные слагаемые в левой части:

\[ (y^3 - y^3) + (-5y^2 - 4y^2) - 4y = -2 - 9x^2 \]

\[ -9y^2 - 4y = -2 - 9x^2 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ -9y^2 - 4y + 9x^2 + 2 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ 9y^2 + 4y - 9x^2 - 2 = 0 \]

Это уравнение с двумя переменными \( x \) и \( y \). Если это уравнение должно быть решено относительно \( y \), то оно имеет вид квадратного уравнения относительно \( y \): \( 9y^2 + 4y + (2 - 9x^2) = 0 \).

Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2 - 9x^2) = 16 - 36(2 - 9x^2) = 16 - 72 + 324x^2 = 324x^2 - 56 \).

Корни: \( y = \frac{-4 \pm \sqrt{324x^2 - 56}}{18} \).

Если предположить, что \( x \) — это опечатка, и уравнение должно быть решено относительно \( y \), то корни будут зависеть от \( x \).

Если предположить, что \( x \) на самом деле \( y \), то уравнение имеет вид: \( y^2(y - 5) - y(y + 2)^2 = -2 - 9y^2 \).

\[ y^3 - 5y^2 - y(y^2 + 4y + 4) = -2 - 9y^2 \]

\[ y^3 - 5y^2 - y^3 - 4y^2 - 4y = -2 - 9y^2 \]

\[ -9y^2 - 4y = -2 - 9y^2 \]

\[ -4y = -2 \]

\[ y = \frac{-2}{-4} \]

\[ y = \frac{1}{2} \]

Ответ: Если \( x \) — это опечатка и должно быть \( y \), то \( y = \frac{1}{2} \). Если \( x \) — другая переменная, то решение выражается через \( x \) как \( y = \frac{-4 \pm \sqrt{324x^2 - 56}}{18} \).