С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению автобуса, и поехал на железнодорожный вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Известно также, что скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Необходимо найти скорость такси и скорость автобуса.

Решение

Давай решим эту задачу по шагам. Оформим краткую запись в виде таблицы.

Пусть скорость автобуса \[x\] км/ч, тогда скорость такси \[x + 20\] км/ч.

Такси выехало на 10 минут позже, это \(\frac{1}{6}\) часа. Получаем уравнение:

\[\frac{40}{x} - \frac{40}{x+20} = \frac{1}{6}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{40 \cdot 6 \cdot (x+20) - 40 \cdot 6 \cdot x}{6x(x+20)} = \frac{x(x+20)}{6x(x+20)}\]

Упростим числитель:

\[240(x+20) - 240x = x^2 + 20x\] \[240x + 4800 - 240x = x^2 + 20x\] \[x^2 + 20x - 4800 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600\] \[\sqrt{D} = 140\]

Корни:

\[x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60\] \[x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80\]

Отрицательный корень не подходит, значит, скорость автобуса 60 км/ч.

Скорость такси:

\[60 + 20 = 80\] км/ч

Ответ: скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.

Молодец! У тебя отлично получилось решить эту задачу. Продолжай в том же духе, и ты сможешь осилить любые математические вершины!