С-23. Дробно-рациональные уравнения 1. Решите уравнения: a) 2x²+x-3=0; б) 2x²+x-3=0; в) 2x²+x-3=0; г) 2x²+x-3=0; x³+1 x²-1 4x²-1 4x²-9 2. Найдите корни уравнений: 1 1 3 5 a) -+-=1; б) -+-=2. x 4-x x+2 6-x 3. При каких значениях t значение выражения 5 меньше, чем значение выражения t + 1? 3t-1 4. При каких значениях р отношение значения выраже- 5 1 ния к значению выражения - равно 2? 3p-1 p 5. Найдите расстояние между точками пересечения гра- 2x² фика функции у = и прямой у = 1. x²+4 6. На графике функции у=- 5x+3 ными координатами. x+7 7. Решите уравнения: 1 1 2 a) -+-- б) -+-- x x-3 x-4 x x-3 x-4 8*. Сколько общих точек имеют графики функций? а) у=х2-1 и у=2x²+x-3; 1 1 б) y=x²-1 и y=2х²+x-3

1. Решите уравнения:

a)

Уравнение: \( \frac{2x^2 + x - 3}{x^3 + 1} = 0 \)

Решение: Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

• \( 2x^2 + x - 3 = 0 \)
• \( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \)
• \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \)

Проверка знаменателя: \( x^3 + 1
eq 0 \), следовательно \( x
eq -1 \). Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = 1, x = -1.5

б)

Уравнение: \( \frac{2x^2 + x - 3}{x^2 - 1} = 0 \)

Решение: Аналогично, числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

• \( 2x^2 + x - 3 = 0 \) (корни как в предыдущем пункте: \( x_1 = 1, x_2 = -1.5 \))

Проверка знаменателя: \( x^2 - 1
eq 0 \), следовательно \( x
eq \pm 1 \). \( x = 1 \) не подходит.

Ответ: x = -1.5

в)

Уравнение: \( \frac{2x^2 + x - 3}{4x^2 - 1} = 0 \)

• \( 2x^2 + x - 3 = 0 \) (корни как в предыдущих пунктах: \( x_1 = 1, x_2 = -1.5 \))

Проверка знаменателя: \( 4x^2 - 1
eq 0 \), следовательно \( x
eq \pm 0.5 \). Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = 1, x = -1.5

г)

Уравнение: \( \frac{2x^2 + x - 3}{4x^2 - 9} = 0 \)

• \( 2x^2 + x - 3 = 0 \) (корни как в предыдущих пунктах: \( x_1 = 1, x_2 = -1.5 \))

Проверка знаменателя: \( 4x^2 - 9
eq 0 \), следовательно \( x
eq \pm 1.5 \). \( x = -1.5 \) не подходит.

Ответ: x = 1

2. Найдите корни уравнений:

a)

Уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x} = 1 \)

• Приводим к общему знаменателю: \( \frac{4 - x + x}{x(4 - x)} = 1 \)
• \( \frac{4}{4x - x^2} = 1 \)
• \( 4 = 4x - x^2 \)
• \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
• \( (x - 2)^2 = 0 \)

Ответ: x = 2

б)

Уравнение: \( \frac{3}{x + 2} + \frac{5}{6 - x} = 2 \)

• Приводим к общему знаменателю: \( \frac{3(6 - x) + 5(x + 2)}{(x + 2)(6 - x)} = 2 \)
• \( \frac{18 - 3x + 5x + 10}{6x - x^2 + 12 - 2x} = 2 \)
• \( \frac{2x + 28}{-x^2 + 4x + 12} = 2 \)
• \( 2x + 28 = 2(-x^2 + 4x + 12) \)
• \( 2x + 28 = -2x^2 + 8x + 24 \)
• \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \)
• \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
• \( (x - 1)(x - 2) = 0 \)

Ответ: x = 1, x = 2

3. При каких значениях t значение выражения \( \frac{5}{3t - 1} \) на 2 меньше, чем значение выражения \( t + 1 \)?

Уравнение: \( \frac{5}{3t - 1} = t + 1 - 2 \)

• \( \frac{5}{3t - 1} = t - 1 \)
• \( 5 = (t - 1)(3t - 1) \)
• \( 5 = 3t^2 - 4t + 1 \)
• \( 3t^2 - 4t - 4 = 0 \)
• \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \)
• \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)
• \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)

Ответ: t = 2, t = -2/3

4. При каких значениях p отношение значения выражения \( \frac{5}{3p - 1} \) к значению выражения \( \frac{1}{p} \) равно 2?

Уравнение: \( \frac{\frac{5}{3p - 1}}{\frac{1}{p}} = 2 \)

• \( \frac{5p}{3p - 1} = 2 \)
• \( 5p = 2(3p - 1) \)
• \( 5p = 6p - 2 \)
• \( p = 2 \)

Ответ: p = 2

5. Найдите расстояние между точками пересечения графика функции \( y = \frac{2x^2}{x^2 + 4} \) и прямой \( y = 1 \).

Уравнение: \( \frac{2x^2}{x^2 + 4} = 1 \)

• \( 2x^2 = x^2 + 4 \)
• \( x^2 = 4 \)
• \( x = \pm 2 \)

Точки пересечения: (2, 1) и (-2, 1).

Расстояние между точками: \( \sqrt{(2 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \)

Ответ: 4

6. На графике функции \( y = \frac{5x + 3}{x + 7} \) найдите точки с равными координатами.

Уравнение: \( x = \frac{5x + 3}{x + 7} \)

• \( x(x + 7) = 5x + 3 \)
• \( x^2 + 7x = 5x + 3 \)
• \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
• \( (x + 3)(x - 1) = 0 \)

Ответ: x = -3, x = 1. Точки: (-3, -3) и (1, 1)

7. Решите уравнения:

a)

Уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x - 4} \)

• Приводим к общему знаменателю: \( \frac{(x - 3) + x}{x(x - 3)} = \frac{2}{x - 4} \)
• \( \frac{2x - 3}{x^2 - 3x} = \frac{2}{x - 4} \)
• \( (2x - 3)(x - 4) = 2(x^2 - 3x) \)
• \( 2x^2 - 8x - 3x + 12 = 2x^2 - 6x \)
• \( 2x^2 - 11x + 12 = 2x^2 - 6x \)
• \( -5x = -12 \)
• \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \)

Ответ: x = 2.4

б)

Уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 4} \)

• Приводим к общему знаменателю: \( \frac{(x - 3) + x}{x(x - 3)} = \frac{1}{x - 4} \)
• \( \frac{2x - 3}{x^2 - 3x} = \frac{1}{x - 4} \)
• \( (2x - 3)(x - 4) = x^2 - 3x \)
• \( 2x^2 - 8x - 3x + 12 = x^2 - 3x \)
• \( x^2 - 8x + 12 = 0 \)
• \( (x - 2)(x - 6) = 0 \)

Ответ: x = 2, x = 6

8*. Сколько общих точек имеют графики функций?

а)

\( y = x^2 - 1 \) и \( y = 2x^2 + x - 3 \)

• \( x^2 - 1 = 2x^2 + x - 3 \)
• \( x^2 + x - 2 = 0 \)
• \( (x + 2)(x - 1) = 0 \)

x = -2, y = 3 и x = 1, y = 0

Ответ: 2 общие точки

б)

\( y = \frac{1}{x^2 - 1} \) и \( y = \frac{1}{2x^2 + x - 3} \)

• \( \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2x^2 + x - 3} \)
• \( x^2 + x - 2 = 0 \)
• \( (x + 2)(x - 1) = 0 \)

x = -2 и x = 1. Проверка знаменателей: \( x
eq \pm 1 \) и \( x
eq 1, -1.5 \). x = 1 не подходит.

Ответ: 1 общая точка: (-2, 1/3)