Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаС-25. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии Вариант 1 Найдите сумму первых четырёх членов геометрической про- грессии (bn), в которой b₁ = 32, q = Найдите су сии му первых шести Последовательность (6) 3; 6; члено нов 1 ге геометрич геометрическая дите S6, если вз= 12, q = -2. Найдите су сии (6), в Найд сии Вариант 2 рической прогрес- ая прогрессия. Най- сумму первых вых пяти членов геометр трической прогрес- которой 6₁ = 27, 27, нести йдите сумму первых шес Последовательность (аn) 8; 4; q 1 членов геометрической прогрес- ская прогрессия. Най- геометрическ дите S4, если аз = 36, q = -3.
Ответ:
-
Вариант 1, задание 1
Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (\(b_n\)), в которой \(b_1 = 32\), \(q = \frac{1}{4}\).
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]Подставляем значения:
\[S_4 = \frac{32(1 - (\frac{1}{4})^4)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{32(1 - \frac{1}{256})}{\frac{3}{4}} = \frac{32 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{4}} = \frac{32 \cdot 255 \cdot 4}{256 \cdot 3} = \frac{255 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{255}{6} = \frac{85}{2} = 42.5\] -
Вариант 1, задание 2
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (\(b_n\)). Последовательность: 3; 6; ...
Сначала найдём знаменатель прогрессии \(q\):
\[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2\]Теперь найдём сумму первых шести членов:
\[S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{3(1 - 2^6)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 64)}{-1} = \frac{3(-63)}{-1} = 3 \cdot 63 = 189\] -
Вариант 1, задание 3
Последовательность (\(b_n\)) – геометрическая прогрессия. Найдите \(S_6\), если \(b_3 = 12\), \(q = -2\).
Выразим \(b_3\) через \(b_1\) и \(q\):
\[b_3 = b_1 \cdot q^2\]Отсюда найдём \(b_1\):
\[b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{12}{(-2)^2} = \frac{12}{4} = 3\]Теперь найдём сумму первых шести членов:
\[S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{3(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)} = \frac{3(1 - 64)}{3} = 1 - 64 = -63\] -
Вариант 2, задание 1
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (\(b_n\)), в которой \(b_1 = 27\), \(q = \frac{1}{3}\).
\[S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{27(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27(1 - \frac{1}{243})}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot 242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{242}{3 \cdot 2} = \frac{121}{3} = 40\frac{1}{3}\] -
Вариант 2, задание 2
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (\(a_n\)). Последовательность: 8; 4; ...
Найдём знаменатель прогрессии \(q\):
\[q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]Теперь найдём сумму первых шести членов:
\[S_6 = \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot 63 \cdot 2}{64} = \frac{63}{4} = 15.75\] -
Вариант 2, задание 3
Последовательность (\(a_n\)) – геометрическая прогрессия. Найдите \(S_4\), если \(a_3 = 36\), \(q = -3\).
Выразим \(a_3\) через \(a_1\) и \(q\):
\[a_3 = a_1 \cdot q^2\]Отсюда найдём \(a_1\):
\[a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{36}{(-3)^2} = \frac{36}{9} = 4\]Теперь найдём сумму первых четырёх членов:
\[S_4 = \frac{a_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{4(1 - (-3)^4)}{1 - (-3)} = \frac{4(1 - 81)}{4} = 1 - 81 = -80\]
Ответ: Вариант 1: 1) 42.5, 2) 189, 3) -63; Вариант 2: 1) 40 1/3, 2) 15.75, 3) -80
