С2. Из точки, расположенной вне плоскости, проведены перпендикуляр к плоскости и две наклонные под углом α к плоскости. Найдите косинус угла между проекциями наклонных, если угол между наклонными равен β.

Обозначим точку вне плоскости как A, основание перпендикуляра как O, а концы наклонных как B и C. Тогда AB и AC — наклонные, OB и OC — их проекции на плоскость. 1. Основные соотношения * ∠ABO = ∠ACO = α (угол между наклонными и плоскостью) * ∠BAC = β (угол между наклонными) 2. Рассмотрим треугольник ABO В прямоугольном треугольнике ABO: AO = AB * sin(α) BO = AB * cos(α) 3. Рассмотрим треугольник ACO Аналогично, в прямоугольном треугольнике ACO: AO = AC * sin(α) OC = AC * cos(α) Так как AO — общий перпендикуляр, то AB * sin(α) = AC * sin(α), следовательно, AB = AC. 4. Применим теорему косинусов к треугольнику BOC Пусть ∠BOC = γ (угол между проекциями наклонных). Тогда: BC² = BO² + OC² - 2 * BO * OC * cos(γ) 5. Применим теорему косинусов к треугольнику ABC BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(β) Так как AB = AC, то: BC² = 2AB² - 2AB² * cos(β) = 2AB²(1 - cos(β)) 6. Подставим BO и OC в уравнение BOC BO = AB * cos(α), OC = AC * cos(α) = AB * cos(α) Тогда: BC² = (AB * cos(α))² + (AB * cos(α))² - 2 * (AB * cos(α)) * (AB * cos(α)) * cos(γ) BC² = 2AB² * cos²(α) - 2AB² * cos²(α) * cos(γ) = 2AB² * cos²(α) * (1 - cos(γ)) 7. Приравняем выражения для BC² 2AB²(1 - cos(β)) = 2AB² * cos²(α) * (1 - cos(γ)) 1 - cos(β) = cos²(α) * (1 - cos(γ)) 1 - cos(γ) = (1 - cos(β)) / cos²(α) cos(γ) = 1 - (1 - cos(β)) / cos²(α) = (cos²(α) - 1 + cos(β)) / cos²(α) = (cos(β) - sin²(α)) / cos²(α) Ответ: $$\frac{\cos(\beta) - \sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$$