С2. Из точки, расположенной вне плоскости, проведены перпендикуляр к плоскости и две наклонные под углом а к перпендикуляру. Найдите косинус угла между проек- циями наклонных, если угол между наклонными равен В. Ответ:

Пусть из точки A вне плоскости проведем перпендикуляр AO к плоскости. Пусть AB и AC - две наклонные к плоскости под углом α к перпендикуляру AO. Пусть угол между наклонными BAC = β. BO и CO - проекции наклонных AB и AC на плоскость. Нужно найти косинус угла BOC.

Так как AB и AC образуют одинаковый угол с AO, то AB = AC. Пусть AB = AC = x. Тогда AO = AB * cos(α) = x * cos(α). BO = CO = AB * sin(α) = x * sin(α).

По теореме косинусов для треугольника ABC: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(β) = x^2 + x^2 - 2 * x * x * cos(β) = 2x^2 - 2x^2 * cos(β) = 2x^2(1 - cos(β)).

По теореме косинусов для треугольника BOC: BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 * BO * CO * cos(BOC) = (x * sin(α))^2 + (x * sin(α))^2 - 2 * (x * sin(α)) * (x * sin(α)) * cos(BOC) = 2x^2 * sin^2(α) - 2x^2 * sin^2(α) * cos(BOC) = 2x^2 * sin^2(α) * (1 - cos(BOC)).

Приравниваем выражения для BC^2:

2x^2(1 - cos(β)) = 2x^2 * sin^2(α) * (1 - cos(BOC))

1 - cos(β) = sin^2(α) * (1 - cos(BOC))

(1 - cos(β)) / sin^2(α) = 1 - cos(BOC)

cos(BOC) = 1 - (1 - cos(β)) / sin^2(α) = (sin^2(α) - 1 + cos(β)) / sin^2(α) = (cos(β) - cos^2(α)) / sin^2(α)

Ответ: $$\frac{cos(\beta) - cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)}$$