С какой скоростью должен двигаться электрон перпендикулярно магнитному полю с индукцией B = 7 мкТл, чтобы его траектория движения оставалась горизонтальной? Массу электрона считать равной mₑ = 9,1·10⁻³¹ кг, а его заряд е = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Ответ дайте в мкм/с и округлите до тысячных.

Дано:

• Индукция магнитного поля: $$B = 7 \text{ мкТл} = 7 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}
• Масса электрона: $$m_e = 9.1 \(\cdot\) 10^{-31} \(\text{ кг}\)
• Заряд электрона: $$e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}

Решение:

Для того чтобы траектория движения электрона оставалась горизонтальной в магнитном поле, сила Лоренца, действующая на электрон, должна быть равна силе тяжести, направленной вертикально вниз. Поскольку электрон движется перпендикулярно магнитному полю, сила Лоренца будет направлена перпендикулярно скорости и магнитному полю, вызывая движение по окружности. Однако, если представить, что магнитное поле направлено вертикально, а электрон движется горизонтально, то сила Лоренца будет направлена горизонтально. В данном случае, условие, что траектория остается горизонтальной, подразумевает, что есть и другая сила, действующая на электрон, которая компенсирует какое-либо отклонение от горизонтального движения. Наиболее вероятной интерпретацией является то, что движение происходит в электромагнитном поле, где есть как магнитное, так и электрическое поля, и они скомпенсированы так, что траектория остается прямолинейной (горизонтальной). Однако, условие задачи явно указывает на движение перпендикулярно магнитному полю и спрашивает о скорости, при которой траектория оставалась горизонтальной. Это возможно, если сила Лоренца уравновешивается другой силой, например, гравитацией, но для электрона гравитационная сила крайне мала. Более вероятно, что условие «траектория оставалась горизонтальной» означает, что электрон движется по прямой линии, что происходит в случае, когда силы, действующие на него, скомпенсированы. В контексте движения в магнитном поле, прямолинейное движение возможно, если нет других сил, или если силы скомпенсированы. Однако, если электрон движется перпендикулярно магнитному полю, он должен двигаться по окружности. Условие «траектория оставалась горизонтальной» не совсем ясно в данном контексте без дополнительной информации об электрическом поле или других силах. Если предположить, что речь идет о скорости, при которой сила Лоренца равна силе тяжести (хотя это маловероятно для электрона), то:

• Сила Лоренца: $$F_Л = e v B$$
• Сила тяжести: $$F_т = m_e g$$
• Приравнивая силы: $$e v B = m_e g$$
• Выразим скорость: $$v = \(\frac{m_e g}{e B}\)$$

Где $$g$$ - ускорение свободного падения, примерно $$9.8 \(\text{ м/с}\)^2$$.

Подставляем значения:

• $$v = \(\frac\){\(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}\) \(\cdot\) \(9.8 \text{ м/с}^2\)}{\(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}\) \(\cdot\) \(7 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}\)}$$
• $$v = \(\frac\){8.918 \(\cdot\) 10^{-30}}{11.2 \(\cdot\) 10^{-25}}$$
• $$v \(\approx\) 0.79625 \(\cdot\) 10^{-5} \(\text{ м/с}\) = 7.9625 \(\cdot\) 10^{-6} \(\text{ м/с}\)$$

Переведем в мкм/с:

• $$1 \(\text{ м}\) = 10^6 \(\text{ мкм}\)$$
• $$v \(\approx\) 7.9625 \(\cdot\) 10^{-6} \(\text{ м/с}\) \(\cdot\) 10^6 \(\text{ мкм/м}\) = 7.9625 \(\text{ мкм/с}\)$$

Округляем до тысячных:

• $$v \(\approx\) 7.963 \(\text{ мкм/с}\)$$

Важное примечание: В физике движение заряженной частицы в магнитном поле перпендикулярно вектору магнитной индукции всегда приводит к движению по окружности. Условие «чтобы его траектория движения оставалась горизонтальной» является нестандартным для данной ситуации. Если бы задача подразумевала движение в скрещенных электрическом и магнитном полях, где частица движется прямолинейно (т.е. сила Лоренца и сила Кулона компенсируют друг друга), то электрическое поле было бы $$E = vB$$. Без указания электрического поля, или другой компенсирующей силы, единственная интерпретация, которая приводит к расчету скорости, это условие, что сила Лоренца уравновешивает силу тяжести. Однако, для электрона сила тяжести ничтожно мала по сравнению с силой Лоренца.

Если интерпретировать «траектория оставалась горизонтальной» как отсутствие вертикального отклонения, и предположить, что вертикальная составляющая силы Лоренца равна силе тяжести, а горизонтальная составляющая силы Лоренца вызывает движение по окружности в горизонтальной плоскости, то это также не совсем корректная постановка. Однако, следуя наиболее вероятной, хоть и физически сомнительной, интерпретации:

Финальный расчет, основанный на уравновешивании силы Лоренца силой тяжести:

• $$F_Л = e v B$$
• $$F_т = m_e g$$
• $$e v B = m_e g$$
• $$v = \(\frac{m_e g}{e B}\)$$
• $$v = \(\frac\){\(9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}\) \(\times\) \(9.8 \text{ м/с}^2\)}{\(1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}\) \(\times\) \(7 \times 10^{-6} \text{ Тл}\)} \(\text{ м/с}\)$$
• $$v = \(\frac\){8.918 \(\times\) 10^{-30}}{11.2 \(\times\) 10^{-25}} \(\text{ м/с}\)$$
• $$v \(\thickapprox\) 0.79625 \(\times\) 10^{-5} \(\text{ м/с}\)$$
• $$v \(\thickapprox\) 7.9625 \(\times\) 10^{-6} \(\text{ м/с}\)$$

Перевод в мкм/с:

• $$v \(\thickapprox\) 7.9625 \(\times\) 10^{-6} \(\text{ м/с}\) \(\times\) \(\frac\){10^6 \(\text{ мкм}\)}{1 \(\text{ м}\)} \(\thickapprox\) 7.9625 \(\text{ мкм/с}\)$$

Округление до тысячных:

• $$v \(\thickapprox\) 7.963 \(\text{ мкм/с}\)$$

Ответ: 7.963 мкм/с