С-21. Логарифмические уравнения Вариант 1 Решите уравнение: 1. log2 (4x + 5) = log2 (9 - 2x). 2. log3 (x² - 5x - 23) = 0. 3. lg(x + 2) + lg(x - 2) = 1g(5x + 10). С-21. Логарифмические уравнения Вариант 3 Решите уравнение: 1. lg(5x - 4) = lg(1 - x). 2. log₁ (x² + 3x – 9) = −2. 3 3.1 + log2(x + 1) = log2(7x + 2) - log2(x - 1).

Решим логарифмические уравнения.

Вариант 1

1. $$log_2(4x + 5) = log_2(9 - 2x)$$

   Так как основания логарифмов одинаковые, то можно приравнять аргументы логарифмов:

   $$4x + 5 = 9 - 2x$$ $$4x + 2x = 9 - 5$$ $$6x = 4$$ $$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

   Проверим, что аргументы логарифмов положительны при данном значении x:

   $$4 \cdot \frac{2}{3} + 5 = \frac{8}{3} + 5 = \frac{8 + 15}{3} = \frac{23}{3} > 0$$ $$9 - 2 \cdot \frac{2}{3} = 9 - \frac{4}{3} = \frac{27 - 4}{3} = \frac{23}{3} > 0$$

   Оба аргумента положительны, значит, x = 2/3 является решением.

   Ответ: $$x = \frac{2}{3}$$

2. $$log_3(x^2 - 5x - 23) = 0$$

   Используем определение логарифма: если $$log_a(b) = c$$, то $$a^c = b$$. В нашем случае:

   $$3^0 = x^2 - 5x - 23$$ $$1 = x^2 - 5x - 23$$ $$x^2 - 5x - 24 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

   Проверим, что аргумент логарифма положителен при данных значениях x:

   Для x = 8:

   $$8^2 - 5 \cdot 8 - 23 = 64 - 40 - 23 = 1 > 0$$

   Для x = -3:

   $$(-3)^2 - 5 \cdot (-3) - 23 = 9 + 15 - 23 = 1 > 0$$

   Оба значения x являются решениями.

   Ответ: $$x_1 = 8, x_2 = -3$$

3. $$lg(x + 2) + lg(x - 2) = lg(5x + 10)$$

   Используем свойство логарифмов: $$log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$$.

   $$lg((x + 2)(x - 2)) = lg(5x + 10)$$ $$lg(x^2 - 4) = lg(5x + 10)$$

   Так как основания логарифмов одинаковые, то можно приравнять аргументы логарифмов:

   $$x^2 - 4 = 5x + 10$$ $$x^2 - 5x - 14 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

   Проверим, что аргументы логарифмов положительны при данных значениях x:

   Для x = 7:

   $$x + 2 = 7 + 2 = 9 > 0$$ $$x - 2 = 7 - 2 = 5 > 0$$ $$5x + 10 = 5 \cdot 7 + 10 = 35 + 10 = 45 > 0$$

   Для x = -2:

   $$x + 2 = -2 + 2 = 0$$

   Так как аргумент логарифма не может быть равен 0, то x = -2 не является решением. x = 7 является решением.

   Ответ: $$x = 7$$

Вариант 3

1. $$lg(5x - 4) = lg(1 - x)$$

   Так как основания логарифмов одинаковые, то можно приравнять аргументы логарифмов:

   $$5x - 4 = 1 - x$$ $$5x + x = 1 + 4$$ $$6x = 5$$ $$x = \frac{5}{6}$$

   Проверим, что аргументы логарифмов положительны при данном значении x:

   $$5 \cdot \frac{5}{6} - 4 = \frac{25}{6} - 4 = \frac{25 - 24}{6} = \frac{1}{6} > 0$$ $$1 - \frac{5}{6} = \frac{6 - 5}{6} = \frac{1}{6} > 0$$

   Оба аргумента положительны, значит, x = 5/6 является решением.

   Ответ: $$x = \frac{5}{6}$$

2. $$log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 9) = -2$$

   Используем определение логарифма: если $$log_a(b) = c$$, то $$a^c = b$$. В нашем случае:

   $$(\frac{1}{3})^{-2} = x^2 + 3x - 9$$ $$3^2 = x^2 + 3x - 9$$ $$9 = x^2 + 3x - 9$$ $$x^2 + 3x - 18 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

   Проверим, что аргумент логарифма положителен при данных значениях x:

   Для x = 3:

   $$3^2 + 3 \cdot 3 - 9 = 9 + 9 - 9 = 9 > 0$$

   Для x = -6:

   $$(-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 9 = 36 - 18 - 9 = 9 > 0$$

   Оба значения x являются решениями.

   Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -6$$

3. $$1 + log_2(x + 1) = log_2(7x + 2) - log_2(x - 1)$$

   Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

   $$1 + log_2(x + 1) = log_2(\frac{7x + 2}{x - 1})$$ $$log_2(2) + log_2(x + 1) = log_2(\frac{7x + 2}{x - 1})$$ $$log_2(2(x + 1)) = log_2(\frac{7x + 2}{x - 1})$$

   Приравняем аргументы логарифмов:

   $$2(x + 1) = \frac{7x + 2}{x - 1}$$ $$2(x + 1)(x - 1) = 7x + 2$$ $$2(x^2 - 1) = 7x + 2$$ $$2x^2 - 2 = 7x + 2$$ $$2x^2 - 7x - 4 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$ $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

   Проверим, что аргументы логарифмов положительны при данных значениях x:

   Для x = 4:

   $$x + 1 = 4 + 1 = 5 > 0$$ $$7x + 2 = 7 \cdot 4 + 2 = 28 + 2 = 30 > 0$$ $$x - 1 = 4 - 1 = 3 > 0$$

   Для x = -1/2:

   $$x + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} > 0$$ $$x - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} < 0$$

   Так как аргумент логарифма не может быть отрицательным, то x = -1/2 не является решением. x = 4 является решением.

   Ответ: $$x = 4$$