С наклонной плоскости, угол наклона которой 45°, соскальзывают два груза массой 2 кг (движется первым) и 1 кг, соединенные пружиной жесткостью 100 Н/м. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны соответственно 0,2 и 0,5. Найдите растяжение пружины при соскальзывании грузов.

Решение:

Применяем второй закон Ньютона к каждому грузу. Коэффициент трения для первого груза \( \mu_1 = 0.2 \), для второго — \( \mu_2 = 0.5 \). Угол наклона \( \alpha = 45^{\circ} \). Жесткость пружины \( k = 100 \) Н/м.

Для первого груза (масса \( m_1 = 2 \) кг):

Сила тяжести, направленная вдоль плоскости: \( F_{g1 \parallel} = m_1 g \sin \alpha \)

Сила трения: \( F_{tr1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g \cos \alpha \)

Сила упругости пружины: \( F_{ypr} \)

Уравнение движения первого груза: \( m_1 a = m_1 g \sin \alpha - F_{tr1} - F_{ypr} \)

\( m_1 a = m_1 g \sin \alpha - \mu_1 m_1 g \cos \alpha - k \Delta x \) (1)

Для второго груза (масса \( m_2 = 1 \) кг):

Сила тяжести, направленная вдоль плоскости: \( F_{g2 \parallel} = m_2 g \sin \alpha \)

Сила трения: \( F_{tr2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 m_2 g \cos \alpha \)

Уравнение движения второго груза: \( m_2 a = m_2 g \sin \alpha - F_{tr2} + F_{ypr} \)

\( m_2 a = m_2 g \sin \alpha - \mu_2 m_2 g \cos \alpha + k \Delta x \) (2)

Ускорение \( a \) одинаковое для обоих грузов, так как они соединены пружиной.

Подставим значения: \( g \approx 10 \) м/с², \( \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \).

Уравнение (1):

\( 2a = 2 \cdot 10 \cdot 0.707 - 0.2 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 0.707 - 100 \Delta x \)

\( 2a = 14.14 - 2.828 - 100 \Delta x \)

\( 2a = 11.312 - 100 \Delta x \) (1')

Уравнение (2):

\( 1a = 1 \cdot 10 \cdot 0.707 - 0.5 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 0.707 + 100 \Delta x \)

\( a = 7.07 - 3.535 + 100 \Delta x \)

\( a = 3.535 + 100 \Delta x \) (2')

Подставим \( a \) из (2') в (1'):

\( 2(3.535 + 100 \Delta x) = 11.312 - 100 \Delta x \)

\( 7.07 + 200 \Delta x = 11.312 - 100 \Delta x \)

\( 200 \Delta x + 100 \Delta x = 11.312 - 7.07 \)

\( 300 \Delta x = 4.242 \)

\( \Delta x = \frac{4.242}{300} \approx 0.01414 \) м

Округлим до тысячных.

Ответ: 0,014 м.