С-41. Оценка значения выражения 1. Известно, что -6 < x < 8. Оцените значение выражения: 1) a) 3x; 6) -4х; в) -х; г)\frac{x}{3}; д) х -1; 2) a) 5-x; б) \frac{1}{x}; в) \frac{4}{x}; г) 3х – 1; д) 2 – 5x. 2. Зная, что 3 < a < 4, -5 < b < -4, оцените: a) a + b; б) а - b; в) ab; г) \frac{a}{b}. 3. Длина прямоугольника равна а см, а ширина – b см. Оцените периметр и площадь прямоугольника, если известно, что 4,4 < a < 4,5, 2,4 < b < 2,5. 4. Пользуясь тем, что 1,7 < √3 < 1,8 и 2,2 < √5 < 2,3, оцените: a) 3√3-√5; 6) √15; B)√20 + √3; г) √12 + √15. 5. Зная, что 6,2 < a < 6,3 и 1,0 < b < 1,2, оцените значение выражения а² – b². 6. Оцените значение выражения: а) За + 4b, если 1 < a < 2 и 0 < b < 4; б) а +1ь, если −2 < a <-1 и 0 < b < 3; 3 в) -а + 3b, если -3 < a < -2 и 1 < b < 2; г) \frac{b}{4}-2а, если 0,5 < a < 1,5 и 1,2 < b < 1,6. 2 7. Известно, что 2 а≤3 и 1 <b<2. Оцените произведение (a - b)(a + b) и разность а² - b². Сравните результаты.

Ответ: Решения ниже

1.1 Оценка значений выражений при -6 < x < 8

a) 3x:

• Умножаем все части неравенства на 3:
• -6 * 3 < 3x < 8 * 3
• -18 < 3x < 24

б) -4x:

• Умножаем все части неравенства на -4 (знак меняется):
• -6 * (-4) > -4x > 8 * (-4)
• 24 > -4x > -32, или -32 < -4x < 24

в) -x:

• Умножаем все части неравенства на -1 (знак меняется):
• -6 * (-1) > -x > 8 * (-1)
• 6 > -x > -8, или -8 < -x < 6

г) x/3:

• Делим все части неравенства на 3:
• -6 / 3 < x/3 < 8 / 3
• -2 < x/3 < 8/3 (или 2 2/3)

д) x - 1:

• Вычитаем 1 из всех частей неравенства:
• -6 - 1 < x - 1 < 8 - 1
• -7 < x - 1 < 7

1.2 Оценка значений выражений

a) 5 - x:

• Умножаем все части неравенства -6 < x < 8 на -1:
• 6 > -x > -8, или -8 < -x < 6
• Прибавляем 5 ко всем частям неравенства:
• -8 + 5 < 5 - x < 6 + 5
• -3 < 5 - x < 11

б) 1/x:

• Так как x меняет знак, рассмотрим два случая:
• x > 0: 0 < x < 8, тогда 1/8 < 1/x < ∞
• x < 0: -6 < x < 0, тогда -∞ < 1/x < -1/6

в) 4/x:

• Аналогично предыдущему, рассмотрим два случая:
• x > 0: 0 < x < 8, тогда 4/8 < 4/x < ∞, или 1/2 < 4/x < ∞
• x < 0: -6 < x < 0, тогда -∞ < 4/x < -4/6, или -∞ < 4/x < -2/3

г) 3x - 1:

• Умножаем все части неравенства на 3:
• -6 * 3 < 3x < 8 * 3
• -18 < 3x < 24
• Вычитаем 1 из всех частей неравенства:
• -18 - 1 < 3x - 1 < 24 - 1
• -19 < 3x - 1 < 23

д) 2 - 5x:

• Умножаем все части неравенства на -5 (знак меняется):
• -6 * (-5) > -5x > 8 * (-5)
• 30 > -5x > -40, или -40 < -5x < 30
• Прибавляем 2 ко всем частям неравенства:
• -40 + 2 < 2 - 5x < 30 + 2
• -38 < 2 - 5x < 32

2. Оценка значений выражений при 3 < a < 4, -5 < b < -4

a) a + b:

• Складываем неравенства:
• 3 + (-5) < a + b < 4 + (-4)
• -2 < a + b < 0

б) a - b:

• Умножаем неравенство -5 < b < -4 на -1:
• 5 > -b > 4, или 4 < -b < 5
• Складываем неравенства 3 < a < 4 и 4 < -b < 5:
• 3 + 4 < a - b < 4 + 5
• 7 < a - b < 9

в) ab:

• Умножаем неравенства:
• 3 * (-5) > ab > 4 * (-4)
• -15 > ab > -16, или -16 < ab < -15

г) a/b:

• Так как оба числа отрицательные, делим:
• 3/(-4) < a/b < 4/(-5)
• -3/4 < a/b < -4/5

3. Оценка периметра и площади прямоугольника при 4,4 < a < 4,5, 2,4 < b < 2,5

Периметр P = 2(a + b):

• Складываем неравенства:
• 4,4 + 2,4 < a + b < 4,5 + 2,5
• 6,8 < a + b < 7
• Умножаем на 2:
• 13,6 < 2(a + b) < 14
• 13,6 < P < 14

Площадь S = a * b:

• Умножаем неравенства:
• 4,4 * 2,4 < a * b < 4,5 * 2,5
• 10,56 < S < 11,25

4. Оценка выражений, используя 1,7 < √3 < 1,8 и 2,2 < √5 < 2,3

a) 3√3 - √5:

• Умножаем неравенство 1,7 < √3 < 1,8 на 3:
• 5,1 < 3√3 < 5,4
• Умножаем неравенство 2,2 < √5 < 2,3 на -1:
• -2,2 > -√5 > -2,3 или -2,3 < -√5 < -2,2
• Складываем неравенства 5,1 < 3√3 < 5,4 и -2,3 < -√5 < -2,2:
• 5,1 - 2,3 < 3√3 - √5 < 5,4 - 2,2
• 2,8 < 3√3 - √5 < 3,2

б) √15:

• √15 = √(3 * 5) = √3 * √5
• Умножаем неравенства:
• 1,7 * 2,2 < √3 * √5 < 1,8 * 2,3
• 3,74 < √15 < 4,14

в) √20 + √3:

• √20 = √(4 * 5) = 2√5
• Умножаем неравенство 2,2 < √5 < 2,3 на 2:
• 4,4 < 2√5 < 4,6
• Складываем неравенства 4,4 < 2√5 < 4,6 и 1,7 < √3 < 1,8:
• 4,4 + 1,7 < 2√5 + √3 < 4,6 + 1,8
• 6,1 < √20 + √3 < 6,4

г) √12 + √15:

• √12 = √(4 * 3) = 2√3
• Умножаем неравенство 1,7 < √3 < 1,8 на 2:
• 3,4 < 2√3 < 3,6
• √15, как мы уже выяснили, 3,74 < √15 < 4,14
• Складываем неравенства 3,4 < 2√3 < 3,6 и 3,74 < √15 < 4,14:
• 3,4 + 3,74 < √12 + √15 < 3,6 + 4,14
• 7,14 < √12 + √15 < 7,74

5. Оценка a² - b² при 6,2 < a < 6,3 и 1,0 < b < 1,2

• Возводим в квадрат 6,2 < a < 6,3:
• 38,44 < a² < 39,69
• Возводим в квадрат 1,0 < b < 1,2:
• 1,0 < b² < 1,44
• Умножаем на -1: -1,0 > -b² > -1,44 или -1,44 < -b² < -1,0
• Складываем неравенства 38,44 < a² < 39,69 и -1,44 < -b² < -1,0:
• 38,44 - 1,44 < a² - b² < 39,69 - 1,0
• 37 < a² - b² < 38,69

6. Оценка значений выражений

а) 3a + 4b, если 1 < a < 2 и 0 < b < 4:

• Умножаем неравенство 1 < a < 2 на 3: 3 < 3a < 6
• Умножаем неравенство 0 < b < 4 на 4: 0 < 4b < 16
• Складываем неравенства: 3 < 3a < 6 и 0 < 4b < 16: 3 < 3a + 4b < 22

б) a + (1/3)b, если -2 < a < -1 и 0 < b < 3:

• Умножаем неравенство 0 < b < 3 на 1/3: 0 < (1/3)b < 1
• Складываем неравенства -2 < a < -1 и 0 < (1/3)b < 1: -2 < a + (1/3)b < 0

в) -a + 3b, если -3 < a < -2 и 1 < b < 2:

• Умножаем неравенство -3 < a < -2 на -1: 3 > -a > 2 или 2 < -a < 3
• Умножаем неравенство 1 < b < 2 на 3: 3 < 3b < 6
• Складываем неравенства 2 < -a < 3 и 3 < 3b < 6: 5 < -a + 3b < 9

г) (b/4) - 2a, если 0,5 < a < 1,5 и 1,2 < b < 1,6:

• Делим неравенство 1,2 < b < 1,6 на 4: 0,3 < b/4 < 0,4
• Умножаем неравенство 0,5 < a < 1,5 на -2: -1 > -2a > -3 или -3 < -2a < -1
• Складываем неравенства 0,3 < b/4 < 0,4 и -3 < -2a < -1: -2,7 < (b/4) - 2a < -0,6

7. Оценка (a - b)(a + b) и a² - b² при 2 ≤ a ≤ 3 и 1 ≤ b ≤ 2

(a - b)(a + b) = a² - b²:

• Возводим в квадрат 2 ≤ a ≤ 3: 4 ≤ a² ≤ 9
• Возводим в квадрат 1 ≤ b ≤ 2: 1 ≤ b² ≤ 4
• Умножаем на -1: -1 ≥ -b² ≥ -4 или -4 ≤ -b² ≤ -1
• Складываем неравенства 4 ≤ a² ≤ 9 и -4 ≤ -b² ≤ -1:
• 4 - 4 ≤ a² - b² ≤ 9 - 1
• 0 ≤ a² - b² ≤ 8

Ответ: Решения выше