С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функций: 1. f(x) = 2x³ - 3x² - 36x + 40 2. f(x) = -0,5x² + 2x + 6 3. f(x) = x⁴ - 8x² + 5

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно определить знаки её производной.

1. \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40 \)

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 - 6x - 36 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 6x - 36 = 0 \).
3. Разделим уравнение на 6: \( x^2 - x - 6 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета): \( x_1 + x_2 = 1 \), \( x_1 \cdot x_2 = -6 \). Отсюда \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -2 \).
5. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; -2] \) и \( [3; +\infty) \), убывает на \( [-2; 3] \).

2. \( f(x) = -0,5x^2 + 2x + 6 \)

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (-0,5x^2 + 2x + 6)' = -x + 2 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( -x + 2 = 0 \) \( → \) \( x = 2 \).
3. Определим знаки производной:
• При \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = -0 + 2 = 2 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = -3 + 2 = -1 < 0 \). Функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; 2] \), убывает на \( [2; +\infty) \).

3. \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 \)

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 16x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель \( 4x \): \( 4x(x^2 - 4) = 0 \).
4. Решим уравнение: \( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( f'(-3) = 4(-3)((-3)^2 - 4) = -12(9 - 4) = -12 \cdot 5 = -60 < 0 \). Функция убывает.
• При \( -2 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 4(-1)((-1)^2 - 4) = -4(1 - 4) = -4 \cdot (-3) = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 4(1)(1^2 - 4) = 4(1 - 4) = 4 \cdot (-3) = -12 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = 4(3)(3^2 - 4) = 12(9 - 4) = 12 \cdot 5 = 60 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на \( [-2; 0] \) и \( [2; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; -2] \) и \( [0; 2] \).