С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если: б) ∠A=30°, ∠C=75°, b=4,5;

Решение:

Нам дан треугольник ABC, где известны два угла и одна сторона.

Дано:

• \( \angle A = 30^{\circ} \)
• \( \angle C = 75^{\circ} \)
• \( b = 4.5 \)

Найти:

• \( \angle B \)
• \( a \)
• \( c \)

1. Найдём угол B:

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому:

\[ \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C \]

\[ \angle B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 75^{\circ} \]

\[ \angle B = 75^{\circ} \]

2. Найдём сторону a (используя теорему синусов):

Теорема синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} \]

Найдём сторону \( a \):

\[ \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} \]

\[ \frac{a}{\sin{30^{\circ}}} = \frac{4.5}{\sin{75^{\circ}}} \]

Мы знаем, что \( \sin{30^{\circ}} = 0.5 \). Для \( \sin{75^{\circ}} \) можно использовать формулу сложения углов или калькулятор: \( \sin{75^{\circ}} = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin{45^{\circ}}\cos{30^{\circ}} + \cos{45^{\circ}}\sin{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659 \).

\[ a = \frac{4.5 \cdot \sin{30^{\circ}}}{\sin{75^{\circ}}} \]

\[ a = \frac{4.5 \cdot 0.5}{0.9659} \]

\[ a \approx \frac{2.25}{0.9659} \]

\[ a \approx 2.33 \text{ см} \]

3. Найдём сторону c (используя теорему синусов):

Так как \( \angle B = \angle C = 75^{\circ} \), то треугольник равнобедренный, и стороны, противолежащие этим углам, равны. Следовательно, \( b = c \).

\[ c = b = 4.5 \text{ см} \]

Проверка:

Можно ещё раз применить теорему синусов для стороны \( c \):

\[ \frac{c}{\sin{C}} = \frac{b}{\sin{B}} \]

\[ \frac{c}{\sin{75^{\circ}}} = \frac{4.5}{\sin{75^{\circ}}} \]

\[ c = 4.5 \text{ см} \]

Ответ: \( \angle B = 75^{\circ}, a \approx 2.33 \text{ см}, c = 4.5 \text{ см} \).