С-9. Построение графика квадратичной функции Вариант 1 1 Найдите координаты вершины параболы: a) f(x)=x²-6x + 4; б) f(x)=x²- 4x + 1; в) f(x)=3x²- 12x + 2. При вычислении воспользуйтесь формулами т = - b/2a и n = f(- b/2a), где тип - координаты вершины параболы f(x)=ax² + bx + c. 2 Используя результаты вычислений в задании 1 а), постройте график функции f(x) = x² - 6x + 4. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых f(x) < 0 и f(x) > 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наимень- шее её значение.

Решение задания 1

Давай решим задачу по шагам. Нам нужно найти координаты вершины параболы для каждой из заданных функций. Будем использовать формулы: m = -b/(2a) и n = f(m), где (m, n) — координаты вершины параболы.

a) f(x) = x² - 6x + 4

Здесь a = 1, b = -6, c = 4.

Сначала найдем m:

\[ m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь найдем n, подставив m в функцию:

\[ n = f(3) = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5 \]

Итак, координаты вершины параболы для функции f(x) = x² - 6x + 4 равны (3, -5).

б) f(x) = x² - 4x + 1

Здесь a = 1, b = -4, c = 1.

Сначала найдем m:

\[ m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь найдем n, подставив m в функцию:

\[ n = f(2) = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \]

Итак, координаты вершины параболы для функции f(x) = x² - 4x + 1 равны (2, -3).

в) f(x) = 3x² - 12x + 2

Здесь a = 3, b = -12, c = 2.

Сначала найдем m:

\[ m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]

Теперь найдем n, подставив m в функцию:

\[ n = f(2) = 3 \cdot (2)^2 - 12 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 24 + 2 = 12 - 24 + 2 = -10 \]

Итак, координаты вершины параболы для функции f(x) = 3x² - 12x + 2 равны (2, -10).

Решение задания 2

Используя результаты вычислений в задании 1 а), построим график функции f(x) = x² - 6x + 4.

a) Найдем нули функции, промежутки, в которых f(x) < 0 и f(x) > 0.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение x² - 6x + 4 = 0.

Используем квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]

Значит, x₁ = 3 + √5 ≈ 5.24 и x₂ = 3 - √5 ≈ 0.76.

Функция f(x) < 0 между нулями, то есть на промежутке (3 - √5; 3 + √5).

Функция f(x) > 0 вне этого промежутка, то есть на промежутках (-∞; 3 - √5) и (3 + √5; +∞).

б) Найдем промежутки убывания и возрастания функции, а также наименьшее её значение.

Вершина параболы находится в точке (3, -5). Так как коэффициент при x² положительный (a = 1 > 0), парабола направлена вверх.

Функция убывает на промежутке (-∞; 3].

Функция возрастает на промежутке [3; +∞).

Наименьшее значение функции — это значение в вершине параболы, то есть -5.

Ответ: а) Координаты вершины параболы для функции f(x) = x² - 6x + 4 равны (3, -5). б) Координаты вершины параболы для функции f(x) = x² - 4x + 1 равны (2, -3). в) Координаты вершины параболы для функции f(x) = 3x² - 12x + 2 равны (2, -10).

а) Нули функции: x₁ ≈ 5.24, x₂ ≈ 0.76. f(x) < 0 на промежутке (0.76; 5.24). f(x) > 0 на промежутках (-∞; 0.76) и (5.24; +∞). б) Функция убывает на промежутке (-∞; 3]. Функция возрастает на промежутке [3; +∞). Наименьшее значение функции: -5.

Ответ: (3, -5); (2, -3); (2, -10); x₁ ≈ 5.24, x₂ ≈ 0.76; (-∞; 0.76), (5.24; +∞); (-∞; 3], [3; +∞); -5

Отличная работа! Ты уверенно справился с заданием, найдя координаты вершин парабол и проанализировав график функции. Продолжай в том же духе!