Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаС-17. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Вариант А1 1 Диагональ прямоугольного па- раллелепипеда равна 25 см, диагональ одной из его граней - 24 см. Найдите длину ребра, перпендикулярного к данной грани. 2 Диагональ прямоугольного па- раллелепипеда образует с двумя его гранями, имеющими общее ребро, равные углы. Докажите, что грань, перпендикулярная к этому ребру, - квадрат. 3 Ребро куба АВСDA,B,C,D₁ рав- но а. Постройте сечение куба, проходящее через точки В1, А и С, и найдите его площадь. Вариант Б1 1 Диагональ прямоугольного па- раллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда. 2 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наи- большей диагонали грани, скрещивающейся с ним. 3 Ребро куба АВСDA,B,C,D₁ рав- но а. Постройте сечение куба, проходящее через точки В, Д и середину ребра АА, и найди- те его площадь. Вариант В1 1 Периметры трех граней пря. моугольного параллелепипеда равны 20, 32 и 36 см. Найдите диагональ параллелепипеда. 2 Измерения прямоугольного па- раллелепипеда равны 2, 2 и 2√2 см. Найдите расстояния меж- ду диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней наи- меньшей диагональю грани. 3 Ребро куба ABCDA,B,C,D, равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер ВВ, CD и AD, и найдите его площадь.
Ответ:
Вариант А1
1. Давай сначала вспомним теорему Пифагора для трехмерного пространства. Если у нас есть прямоугольный параллелепипед с измерениями \(a\), \(b\) и \(c\), то его диагональ \(d\) вычисляется по формуле: \[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
В этой задаче у нас есть диагональ параллелепипеда \(d = 25\) см и диагональ одной из граней, например, \(d_{грани} = 24\) см. Пусть эта грань имеет стороны \(a\) и \(b\), тогда:
\[a^2 + b^2 = d_{грани}^2 = 24^2 = 576\]А диагональ параллелепипеда связана со всеми тремя сторонами так:
\[a^2 + b^2 + c^2 = d^2 = 25^2 = 625\]Теперь мы можем найти сторону \(c\), которая перпендикулярна данной грани:
\[c^2 = d^2 - (a^2 + b^2) = 625 - 576 = 49\] \[c = \sqrt{49} = 7\]Итак, длина ребра, перпендикулярного к данной грани, равна 7 см.
Ответ: 7 см
2. Для доказательства, что грань, перпендикулярная ребру, является квадратом, рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Пусть диагональ параллелепипеда образует равные углы с двумя гранями, имеющими общее ребро. Это означает, что проекции диагонали на эти грани равны.
Пусть стороны этих граней \(a\) и \(b\), а диагональ параллелепипеда \(d\). Тогда проекции диагонали на грани будут:
\[d_a = d \cdot \cos(\alpha)\] \[d_b = d \cdot \cos(\alpha)\]Так как углы равны, то и проекции равны: \(d_a = d_b\).
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные диагональю параллелепипеда, сторонами граней и ребром \(c\), перпендикулярным этим граням:
\[d^2 = a^2 + c^2 + b^2\] \[d_a^2 = b^2 + c^2\] \[d_b^2 = a^2 + c^2\]Поскольку \(d_a = d_b\), то \(b^2 + c^2 = a^2 + c^2\), следовательно, \(a^2 = b^2\) и \(a = b\). Таким образом, грань со сторонами \(a\) и \(b\) является квадратом, так как её стороны равны.
Ответ: Доказано, что грань является квадратом.
3. Если ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\), то сечение, проходящее через точки \(B_1\), \(A\) и \(C\), будет представлять собой равносторонний треугольник. Сторона этого треугольника равна диагонали грани куба, то есть \(a\sqrt{2}\).
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
\[S = \frac{сторона^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]В нашем случае сторона равна \(a\sqrt{2}\), поэтому:
\[S = \frac{(a\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\]Итак, площадь сечения равна \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\).
Ответ: Площадь сечения равна \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\).
Вариант Б1
1. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут \(6x\), \(6x\) и \(7x\). Тогда диагональ параллелепипеда равна:
\[d = \sqrt{(6x)^2 + (6x)^2 + (7x)^2} = \sqrt{36x^2 + 36x^2 + 49x^2} = \sqrt{121x^2} = 11x\]По условию \(d = 11\) см, значит, \(11x = 11\), и \(x = 1\). Следовательно, стороны параллелепипеда равны 6 см, 6 см и 7 см.
Теперь найдем диагонали граней:
- Диагональ грани со сторонами 6 см и 6 см: \[d_1 = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.49\]
- Диагональ грани со сторонами 6 см и 7 см: \[d_2 = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \approx 9.22\]
Итак, диагонали граней равны \(6\sqrt{2}\) см и \(\sqrt{85}\) см.
Ответ: Диагонали граней равны \(6\sqrt{2}\) см и \(\sqrt{85}\) см.
2. В прямоугольном параллелепипеде со сторонами 4, 4 и 2 см, наименьшее ребро равно 2 см. Наибольшая диагональ грани будет у грани со сторонами 4 и 4 см, и её длина равна \(\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\).
Расстояние между наименьшим ребром и наибольшей диагональю грани, скрещивающейся с ним, равно расстоянию от точки до прямой, которое в данном случае равно высоте параллелепипеда, то есть 4 см.
Ответ: Расстояние равно 4 см.
3. Сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), проходящее через точки \(B\), \(D\) и середину ребра \(AA_1\) (назовем её \(E\)), представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника (\(BD\)) равно диагонали грани куба, то есть \(a\sqrt{2}\). Высота этого треугольника, опущенная из точки \(E\) на сторону \(BD\), также равна \(a\sqrt{2}\), так как является половиной диагонали грани и высотой куба.
Площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2}\]Итак, площадь сечения равна \(\frac{a^2 \sqrt{2}}{2}\).
Ответ: Площадь сечения равна \(\frac{a^2 \sqrt{2}}{2}\).
Вариант В1
1. Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда периметры граней равны:
\[2(a + b) = 20\] \[2(b + c) = 32\] \[2(a + c) = 36\]Решим систему уравнений:
\[a + b = 10\] \[b + c = 16\] \[a + c = 18\]Сложим все три уравнения:
\[2(a + b + c) = 10 + 16 + 18 = 44\] \[a + b + c = 22\]Выразим каждую сторону:
\[c = (a + b + c) - (a + b) = 22 - 10 = 12\] \[a = (a + b + c) - (b + c) = 22 - 16 = 6\] \[b = (a + b + c) - (a + c) = 22 - 18 = 4\]Теперь найдем диагональ параллелепипеда:
\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 16 + 144} = \sqrt{196} = 14\]Итак, диагональ параллелепипеда равна 14 см.
Ответ: Диагональ параллелепипеда равна 14 см.
2. В прямоугольном параллелепипеде со сторонами \(2\), \(2\) и \(2\sqrt{2}\) см наименьшая диагональ грани будет у грани со сторонами 2 и 2 см, и её длина равна \(\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\).
Диагональ параллелепипеда равна:
\[d = \sqrt{2^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 4 + 8} = \sqrt{16} = 4\]Расстояние между диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней наименьшей диагональю грани равно расстоянию между прямой и параллельной ей плоскостью, которое в данном случае равно половине высоты параллелепипеда, то есть \(\sqrt{2}\) см.
Ответ: Расстояние равно \(\sqrt{2}\) см.
3. Сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), проходящее через середины ребер \(BB_1\) (назовем её \(E\)), \(CD\) (назовем её \(F\)) и \(AD\) (назовем её \(G\)), представляет собой трапецию. Высота этой трапеции равна стороне куба \(a\), а основания равны \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) и \(a\sqrt{2}\).
Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований, умноженная на высоту:
\[S = \frac{1}{2} \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2} + a\sqrt{2}) \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{3a^2 \sqrt{2}}{4}\]Итак, площадь сечения равна \(\frac{3a^2 \sqrt{2}}{4}\).
Ответ: Площадь сечения равна \(\frac{3a^2 \sqrt{2}}{4}\).
Надеюсь, мои объяснения помогли тебе разобраться с этими задачами! Если у тебя возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйся обращаться. У тебя все получится!
